Номер 449, страница 94 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

449. Идеальный одноатомный газ совершает замкнутый цикл, представленный на рисунке 76. Определите термический КПД цикла.

Координаты точек цикла:

Точка 1: $(V_0, p_0)$

Точка 2: $(V_0, 3,4p_0)$

Точка 3: $(3,4V_0, 3,4p_0)$

Pис. 76

Дано:

Идеальный одноатомный газ.

Циклический процесс 1-2-3-1.

Параметры состояний по графику (Рис. 76):

Состояние 1: давление $p_1 = p_0$, объем $V_1 = V_0$.

Состояние 2: давление $p_2 = 3,4p_0$, объем $V_2 = V_0$.

Состояние 3: давление $p_3 = 3,4p_0$, объем $V_3 = 3,4V_0$.

Найти:

Термический КПД цикла, $\eta$.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется отношением работы $A_{цикла}$, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученной газом от нагревателя за цикл:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

1. Найдем работу, совершенную газом за цикл. Работа $A_{цикла}$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на p-V диаграмме. В данном случае фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках 1, 2, 3.

Процесс 1-2 является изохорным ($V=const$), а процесс 2-3 — изобарным ($p=const$). Следовательно, угол при вершине 2 прямой, и треугольник 1-2-3 — прямоугольный.

Длины катетов треугольника:

Катет вдоль оси V: $\Delta V = V_3 - V_2 = 3,4V_0 - V_0 = 2,4V_0$.

Катет вдоль оси p: $\Delta p = p_2 - p_1 = 3,4p_0 - p_0 = 2,4p_0$.

Работа за цикл равна площади этого треугольника:

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot \Delta p \cdot \Delta V = \frac{1}{2} (2,4p_0) (2,4V_0) = \frac{1}{2} \cdot 5,76 p_0V_0 = 2,88 p_0V_0$.

2. Найдем количество теплоты $Q_{нагр}$, полученное газом от нагревателя. Газ получает теплоту на тех участках, где его температура увеличивается. Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$. Теплота подводится к газу, когда $Q > 0$.

Рассмотрим каждый процесс:

Процесс 1-2 (изохорное нагревание):

Объем постоянен ($V_1 = V_2 = V_0$), поэтому работа $A_{12} = 0$.

Давление растет, следовательно, растет и температура. Газ получает теплоту.

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) + 0 = \frac{3}{2}(3,4p_0 \cdot V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(2,4p_0V_0) = 3,6p_0V_0$.

Так как $Q_{12} > 0$, это подведенная теплота.

Процесс 2-3 (изобарное расширение):

Давление постоянно ($p_2 = p_3 = 3,4p_0$), объем увеличивается. Газ совершает работу и его температура растет. Газ получает теплоту.

Работа $A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 3,4p_0(3,4V_0 - V_0) = 3,4p_0(2,4V_0) = 8,16p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(3,4p_0 \cdot 3,4V_0 - 3,4p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(11,56p_0V_0 - 3,4p_0V_0) = \frac{3}{2}(8,16p_0V_0) = 12,24p_0V_0$.

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 12,24p_0V_0 + 8,16p_0V_0 = 20,4p_0V_0$.

Так как $Q_{23} > 0$, это подведенная теплота.

Процесс 3-1:

Давление и объем уменьшаются, следовательно, температура падает. Газ отдает теплоту холодильнику ($Q_{31} < 0$).

Таким образом, общее количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, равно:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = 3,6p_0V_0 + 20,4p_0V_0 = 24p_0V_0$.

3. Вычислим КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{2,88 p_0V_0}{24 p_0V_0} = \frac{2,88}{24} = 0,12$.

Выразим КПД в процентах: $\eta = 0,12 \cdot 100\% = 12\%$.

Ответ: Термический КПД цикла равен $0,12$ или $12\%$.