Номер 451, страница 95 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

451. Идеальный одноатомный газ совершает замкнутый цикл, представленный на рисунке 77. Определите термический КПД цикла.

$p$, $2p_0$, $p_0$

$V$, $V_0$, $3V_0$, $0$

$1$, $2$, $3$, $4$

Рис. 77

Дано:

Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс 1-2-3-4-1.

Параметры состояний газа (согласно графику):

$p_1 = p_0, V_1 = V_0$

$p_2 = 2p_0, V_2 = V_0$

$p_3 = 2p_0, V_3 = 3V_0$

$p_4 = p_0, V_4 = 3V_0$

Найти:

Термический КПД цикла, $\eta$.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}}$

где $A_{полезная}$ — полезная работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_{нагревателя}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

1. Найдём полезную работу газа за цикл ($A_{полезная}$).

Работа газа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме p-V. В данном случае цикл представляет собой прямоугольник. Его стороны равны $\Delta p = 2p_0 - p_0 = p_0$ и $\Delta V = 3V_0 - V_0 = 2V_0$.

Полезная работа равна площади этого прямоугольника:

$A_{полезная} = \Delta p \cdot \Delta V = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$.

2. Найдём количество теплоты, полученное газом от нагревателя ($Q_{нагревателя}$).

Газ получает теплоту на тех участках, где его температура растёт. Это происходит на участках 1-2 и 2-3. Количество теплоты находим по первому закону термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа газа.

Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии: $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

Участок 1-2: изохорное нагревание ($V = const$).

Работа газа $A_{12} = 0$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}p_0V_0$. Так как $Q_{12} > 0$, газ получает теплоту.

Участок 2-3: изобарное расширение ($p = const$).

Работа газа $A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 2p_0(3V_0 - V_0) = 4p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0) = 6p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 6p_0V_0 + 4p_0V_0 = 10p_0V_0$. Так как $Q_{23} > 0$, газ получает теплоту.

На участках 3-4 и 4-1 газ отдает теплоту (температура падает), поэтому они не вносят вклад в $Q_{нагревателя}$.

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя:

$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = \frac{3p_0V_0 + 20p_0V_0}{2} = \frac{23}{2}p_0V_0 = 11.5 p_0V_0$.

3. Вычислим КПД цикла.

Подставим найденные значения $A_{полезная}$ и $Q_{нагревателя}$ в формулу для КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{2p_0V_0}{\frac{23}{2}p_0V_0} = \frac{2 \cdot 2}{23} = \frac{4}{23}$.

Для выражения в процентах, умножим на 100%:

$\eta = \frac{4}{23} \cdot 100\% \approx 17.39\% \approx 17.4\%$.

Ответ:

Термический КПД цикла равен $\frac{4}{23}$, что составляет примерно $17.4\%$.