Номер 450, страница 95 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

450. Идеальный одноатомный газ совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изохорных и двух изобарных процессов. При изохорном нагревании давление увеличивается в $\alpha = 2,0$ раза, а при изобарном нагревании объем увеличивается на $\beta = 70 \%$. Определите термический КПД цикла, если известно, что полезная работа сил давления газа положительная.

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$ \alpha = 2,0 $ (увеличение давления при изохорном нагревании)

$ \beta = 70 \% $ (увеличение объема на 70% при изобарном нагревании)

$ A_{полезная} > 0 $ (полезная работа положительна)

Перевод в относительные единицы:

$ \beta = 70 \% = 0,7 $. Коэффициент увеличения объема при изобарном нагревании: $ k = 1 + \beta = 1 + 0,7 = 1,7 $.

Найти:

$ \eta $ - термический КПД цикла.

Решение:

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется как отношение полезной работы $ A_{полезная} $, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты $ Q_{нагр} $, полученной от нагревателя:

$ \eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагр}} $

Цикл состоит из двух изохорных и двух изобарных процессов. В координатах $ (P, V) $ такой цикл представляет собой прямоугольник. Поскольку полезная работа газа положительна ($ A_{полезная} > 0 $), цикл должен обходиться по часовой стрелке.

Рассмотрим состояния газа в вершинах этого прямоугольника:

• Состояние 1: минимальное давление $ P_1 $ и минимальный объем $ V_1 $.
• Состояние 2: максимальное давление $ P_2 $ и минимальный объем $ V_1 $.
• Состояние 3: максимальное давление $ P_2 $ и максимальный объем $ V_2 $.
• Состояние 4: минимальное давление $ P_1 $ и максимальный объем $ V_2 $.

Процессы, составляющие цикл:

1 → 2: Изохорное нагревание ($ V = \text{const} $). Давление растет от $ P_1 $ до $ P_2 $. Согласно условию, $ P_2 = \alpha P_1 $. Газ получает тепло.

2 → 3: Изобарное нагревание ($ P = \text{const} $). Объем растет от $ V_1 $ до $ V_2 $. Согласно условию, объем увеличивается на $ \beta = 70 \% $, то есть $ V_2 = V_1 + 0,7 V_1 = 1,7 V_1 = k V_1 $. Газ получает тепло.

3 → 4: Изохорное охлаждение ($ V = \text{const} $). Газ отдает тепло.

4 → 1: Изобарное охлаждение ($ P = \text{const} $). Газ отдает тепло.

1. Найдем полезную работу $ A_{полезная} $. Она равна площади прямоугольника на $ P-V $ диаграмме:

$ A_{полезная} = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) = (\alpha P_1 - P_1)(k V_1 - V_1) = (\alpha - 1)(k - 1) P_1 V_1 $

2. Найдем количество теплоты $ Q_{нагр} $, полученное газом от нагревателя. Тепло подводится на участках нагревания: 1 → 2 и 2 → 3.

На участке 1 → 2 (изохорное нагревание, $ V = \text{const} $):

$ Q_{1 \to 2} = \Delta U_{1 \to 2} = \nu C_V \Delta T_{1 \to 2} $

Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме $ C_V = \frac{3}{2}R $. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона $ PV = \nu RT $, получаем:

$ Q_{1 \to 2} = \frac{3}{2} (\nu R T_2 - \nu R T_1) = \frac{3}{2} (P_2 V_1 - P_1 V_1) = \frac{3}{2} (\alpha P_1 V_1 - P_1 V_1) = \frac{3}{2} (\alpha - 1) P_1 V_1 $

На участке 2 → 3 (изобарное нагревание, $ P = \text{const} $):

$ Q_{2 \to 3} = \nu C_p \Delta T_{2 \to 3} $

Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном давлении $ C_p = \frac{5}{2}R $. Тогда:

$ Q_{2 \to 3} = \frac{5}{2} (\nu R T_3 - \nu R T_2) = \frac{5}{2} (P_2 V_2 - P_2 V_1) = \frac{5}{2} P_2 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} (\alpha P_1) (k V_1 - V_1) = \frac{5}{2} \alpha (k - 1) P_1 V_1 $

Суммарное количество полученной теплоты:

$ Q_{нагр} = Q_{1 \to 2} + Q_{2 \to 3} = \frac{3}{2} (\alpha - 1) P_1 V_1 + \frac{5}{2} \alpha (k - 1) P_1 V_1 $

3. Рассчитаем КПД цикла:

$ \eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагр}} = \frac{(\alpha - 1)(k - 1) P_1 V_1}{\frac{3}{2} (\alpha - 1) P_1 V_1 + \frac{5}{2} \alpha (k - 1) P_1 V_1} $

Сократив $ P_1 V_1 $, получим:

$ \eta = \frac{(\alpha - 1)(k - 1)}{\frac{3}{2} (\alpha - 1) + \frac{5}{2} \alpha (k - 1)} $

Подставим числовые значения $ \alpha = 2,0 $ и $ k = 1,7 $:

$ \alpha - 1 = 2 - 1 = 1 $

$ k - 1 = 1,7 - 1 = 0,7 $

$ \eta = \frac{1 \cdot 0,7}{\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot 2 \cdot 0,7} = \frac{0,7}{1,5 + 5 \cdot 0,7} = \frac{0,7}{1,5 + 3,5} = \frac{0,7}{5,0} = 0,14 $

Таким образом, КПД цикла составляет 14%.

Ответ: $ \eta = 0,14 $.