Номер 452, страница 95 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

452. Идеальный одноатомный газ совершает замкнутый цикл, представленный на рисунке 78. Определите термический КПД цикла.

$p$, $2p_0$, $p_0$, $0$, $V$, $V_0$, $2V_0$, $3V_0$.

1, 2, 3, 4.

Рис. 78

Дано:

Идеальный одноатомный газ.

Циклический процесс 1-2-3-4-1, представленный на p-V диаграмме.

Параметры в узловых точках цикла:

Точка 1: $p_1 = 2p_0$, $V_1 = 2V_0$

Точка 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = 3V_0$

Точка 3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 3V_0$

Точка 4: $p_4 = p_0$, $V_4 = V_0$

Найти:

Термический КПД цикла $\eta$.

Решение:

Термический КПД цикла определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$,

где $A_{цикла}$ — работа, совершённая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдем работу газа за цикл $A_{цикла}$.

Работа за цикл равна сумме работ на каждом из участков: $A_{цикла} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$. Работа на каждом участке численно равна площади под соответствующим графиком процесса в координатах p-V.

• Участок 1-2 (изобарное расширение):

  $A_{12} = p_1(V_2 - V_1) = 2p_0(3V_0 - 2V_0) = 2p_0V_0$

• Участок 2-3 (изохорное охлаждение):

  $A_{23} = 0$, так как объем не меняется.

• Участок 3-4 (изобарное сжатие):

  $A_{34} = p_3(V_4 - V_3) = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0$

• Участок 4-1 (расширение с ростом давления):

  Работа на этом участке равна площади трапеции под линией 4-1.

  $A_{41} = \frac{p_4 + p_1}{2}(V_1 - V_4) = \frac{p_0 + 2p_0}{2}(2V_0 - V_0) = \frac{3p_0}{2}V_0 = 1.5p_0V_0$

Суммарная работа за цикл:

$A_{цикла} = 2p_0V_0 + 0 - 2p_0V_0 + 1.5p_0V_0 = 1.5p_0V_0$

2. Найдем количество теплоты, полученное от нагревателя $Q_{нагр}$.

Газ получает теплоту на тех участках, где подводимое количество теплоты $Q$ положительно. Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$. Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV) = \frac{3}{2}(p_fV_f - p_iV_i)$.

• Участок 1-2:

  $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(6p_0V_0 - 4p_0V_0) = 3p_0V_0$

  $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 3p_0V_0 + 2p_0V_0 = 5p_0V_0$.

  Так как $Q_{12} > 0$, на этом участке газ получает теплоту.

• Участок 2-3:

  $\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(-3p_0V_0) = -4.5p_0V_0$

  $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -4.5p_0V_0 + 0 = -4.5p_0V_0$.

  Так как $Q_{23} < 0$, на этом участке газ отдает теплоту.

• Участок 3-4:

  $\Delta U_{34} = \frac{3}{2}(p_4V_4 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_0V_0 - p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(-2p_0V_0) = -3p_0V_0$

  $Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = -3p_0V_0 - 2p_0V_0 = -5p_0V_0$.

  Так как $Q_{34} < 0$, на этом участке газ отдает теплоту.

• Участок 4-1:

  $\Delta U_{41} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_4V_4) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 2V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0) = 4.5p_0V_0$

  $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} = 4.5p_0V_0 + 1.5p_0V_0 = 6p_0V_0$.

  Так как $Q_{41} > 0$, на этом участке газ получает теплоту.

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{41} = 5p_0V_0 + 6p_0V_0 = 11p_0V_0$

3. Рассчитаем КПД цикла.

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{1.5p_0V_0}{11p_0V_0} = \frac{1.5}{11} = \frac{3/2}{11} = \frac{3}{22}$

В процентах это составляет: $\eta = \frac{3}{22} \cdot 100\% \approx 13.6\%$

Ответ: Термический КПД цикла равен $\frac{3}{22}$ или приблизительно $13.6\%$.