Номер 448, страница 94 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

448. Тепловой двигатель работает по циклу, изображенному на рисунке 75. Рабочим телом двигателя является идеальный одноатомный газ. Определите термический коэффициент полезного действия цикла.

$p$

$4p_1$

$p_1$

$0$

$V_1$

$4V_1$

$V$

$1$

$2$

$3$

Рис. 75

Дано:

Тепловой двигатель работает по циклу 1-2-3-1.

Рабочее тело – идеальный одноатомный газ.

Параметры состояний газа по графику:

Состояние 1: давление $p_1$, объем $V_1$.

Состояние 2: давление $p_2 = 4p_1$, объем $V_2 = 4V_1$.

Состояние 3: давление $p_3 = p_1$, объем $V_3 = 4V_1$.

Найти:

$\eta$ – термический коэффициент полезного действия цикла.

Решение:

Термический КПД теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$,

где $A_{цикла}$ – работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагр}$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдем работу газа за цикл. В координатах $p-V$ работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это площадь треугольника 1-2-3.

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (V_3 - V_1) \cdot (p_2 - p_3)$

Подставим значения из графика:

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (4V_1 - V_1) \cdot (4p_1 - p_1) = \frac{1}{2} \cdot 3V_1 \cdot 3p_1 = \frac{9}{2} p_1 V_1$.

2. Найдем количество теплоты $Q_{нагр}$, полученное газом. Для этого проанализируем каждый процесс цикла с помощью первого закона термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Газ получает теплоту ($Q>0$) на тех участках, где сумма изменения его внутренней энергии $\Delta U$ и совершаемой им работы $A$ положительна.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа: $U = \frac{3}{2} \nu R T = \frac{3}{2} pV$.

Рассмотрим каждый процесс:

Процесс 1-2:

Работа газа $A_{1-2}$ равна площади трапеции под графиком 1-2:

$A_{1-2} = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1) = \frac{p_1 + 4p_1}{2} (4V_1 - V_1) = \frac{5p_1}{2} \cdot 3V_1 = \frac{15}{2} p_1 V_1$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{1-2} = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} p_2 V_2 - \frac{3}{2} p_1 V_1 = \frac{3}{2} (4p_1 \cdot 4V_1 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (16 p_1 V_1 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} \cdot 15 p_1 V_1 = \frac{45}{2} p_1 V_1$.

Количество теплоты в процессе 1-2:

$Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + A_{1-2} = \frac{45}{2} p_1 V_1 + \frac{15}{2} p_1 V_1 = \frac{60}{2} p_1 V_1 = 30 p_1 V_1$.

Так как $Q_{1-2} > 0$, на этом участке газ получает тепло от нагревателя.

Процесс 2-3:

Это изохорный процесс ($V=const$), поэтому работа газа $A_{2-3} = 0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{2-3} = U_3 - U_2 = \frac{3}{2} p_3 V_3 - \frac{3}{2} p_2 V_2 = \frac{3}{2} (p_1 \cdot 4V_1 - 4p_1 \cdot 4V_1) = \frac{3}{2} (4 p_1 V_1 - 16 p_1 V_1) = -\frac{3}{2} \cdot 12 p_1 V_1 = -18 p_1 V_1$.

Количество теплоты $Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3} = -18 p_1 V_1$.

Так как $Q_{2-3} < 0$, на этом участке газ отдает тепло холодильнику.

Процесс 3-1:

Это изобарный процесс ($p=const$), работа газа:

$A_{3-1} = p_1 (V_1 - V_3) = p_1 (V_1 - 4V_1) = -3 p_1 V_1$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{3-1} = U_1 - U_3 = \frac{3}{2} p_1 V_1 - \frac{3}{2} p_3 V_3 = \frac{3}{2} (p_1 V_1 - p_1 \cdot 4V_1) = -\frac{3}{2} \cdot 3 p_1 V_1 = -\frac{9}{2} p_1 V_1$.

Количество теплоты $Q_{3-1} = \Delta U_{3-1} + A_{3-1} = -\frac{9}{2} p_1 V_1 - 3 p_1 V_1 = -\frac{15}{2} p_1 V_1$.

Так как $Q_{3-1} < 0$, на этом участке газ также отдает тепло холодильнику.

Таким образом, газ получает теплоту только в процессе 1-2. Следовательно,

$Q_{нагр} = Q_{1-2} = 30 p_1 V_1$.

3. Теперь можем вычислить КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{\frac{9}{2} p_1 V_1}{30 p_1 V_1} = \frac{9}{2 \cdot 30} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0.15$.

В процентах КПД составит $0.15 \cdot 100\% = 15\%$.

Ответ: термический коэффициент полезного действия цикла равен $0.15$ или $15\%$.