Номер 454, страница 95 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

454. Тепловой двигатель работает по циклу, изображенному на рисунке 80. Рабочим телом является идеальный одноатомный газ. В состоянии 1 давление газа $p_1 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$, объем $V_1 = 8 \text{ дм}^3$. Найдите КПД цикла, если количество теплоты, полученное газом при изотермическом расширении, $Q_{23} = 2,6 \text{ кДж}$.

Рис. 80

Дано:

Рабочее тело – идеальный одноатомный газ.

$p_1 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$V_1 = 8 \text{ дм}^3$

$Q_{23} = 2,6 \text{ кДж}$

Из графика:

$T_2 = T_3 = 3T_1$

$p_2 = 3p_1$

$p_3 = p_1$

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 8 \text{ дм}^3 = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$Q_{23} = 2,6 \text{ кДж} = 2,6 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется формулой:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

где $A_{цикла}$ – работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагр}$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Рассмотрим каждый процесс в цикле:

1. Процесс 1-2:

Из графика видно, что давление прямо пропорционально температуре ($p \sim T$), что соответствует изохорному процессу (закон Шарля), т.е. $V = const$. Следовательно, $V_2 = V_1$.

Работа газа в изохорном процессе равна нулю: $A_{12} = 0$.

Количество теплоты, полученное газом, согласно первому закону термодинамики, равно изменению его внутренней энергии:

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R(3T_1 - T_1) = 3\nu R T_1$.

Из уравнения состояния идеального газа для состояния 1 имеем $p_1 V_1 = \nu R T_1$.

Тогда $Q_{12} = 3 p_1 V_1$.

Так как $p_1 > 0$ и $V_1 > 0$, то $Q_{12} > 0$. Газ получает тепло от нагревателя.

2. Процесс 2-3:

Из графика видно, что $T_2 = T_3 = 3T_1$, следовательно, процесс является изотермическим. По условию, это изотермическое расширение, при котором газ получает количество теплоты $Q_{23} = 2,6 \cdot 10^3 \text{ Дж}$. Так как $Q_{23} > 0$, это тепло также поступает от нагревателя.

Поскольку процесс изотермический, изменение внутренней энергии равно нулю: $\Delta U_{23} = 0$.

Работа, совершаемая газом, равна полученному теплу: $A_{23} = Q_{23} = 2,6 \cdot 10^3 \text{ Дж}$.

3. Процесс 3-1:

Из графика видно, что давление в состоянии 3 равно $p_1$ и в состоянии 1 равно $p_1$. Процесс 3-1, замыкающий цикл, соединяет точки с координатами ($3T_1, p_1$) и ($T_1, p_1$), следовательно, он является изобарным ($p = const = p_1$). Так как температура уменьшается, происходит изобарное сжатие.

При изобарном сжатии газ отдает тепло холодильнику, т.е. $Q_{31} < 0$. Это количество теплоты не входит в $Q_{нагр}$.

Работа газа в этом процессе: $A_{31} = p_1(V_1 - V_3)$.

Найдем объем $V_3$ из соотношения для изобарного процесса 3-1: $\frac{V_3}{T_3} = \frac{V_1}{T_1}$.

$\frac{V_3}{3T_1} = \frac{V_1}{T_1} \Rightarrow V_3 = 3V_1$.

Тогда работа $A_{31} = p_1(V_1 - 3V_1) = -2p_1V_1$.

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23}$.

Вычислим $Q_{12}$:

$Q_{12} = 3 p_1 V_1 = 3 \cdot (1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 3 \cdot 800 \text{ Дж} = 2400 \text{ Дж}$.

$Q_{нагр} = 2400 \text{ Дж} + 2600 \text{ Дж} = 5000 \text{ Дж}$.

Работа газа за весь цикл равна сумме работ на каждом участке:

$A_{цикла} = A_{12} + A_{23} + A_{31} = 0 + 2600 \text{ Дж} + (-2p_1V_1)$.

$A_{цикла} = 2600 \text{ Дж} - 2 \cdot (1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 2600 \text{ Дж} - 2 \cdot 800 \text{ Дж} = 2600 \text{ Дж} - 1600 \text{ Дж} = 1000 \text{ Дж}$.

Теперь можем найти КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{1000 \text{ Дж}}{5000 \text{ Дж}} = 0,2$.

В процентах: $\eta = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: КПД цикла составляет 20%.