Номер 439, страница 92 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

439. Цикл, проведенный с идеальным газом, количество вещества которого $v=3,0 \text{ моль}$, состоит из двух изохор и двух изобар (рис. 73). В состоянии 1 средняя квадратичная скорость теплового движения молекул $\langle v_{\text{кв1}} \rangle=400 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Молярная масса газа $M=40 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$. Определите работу сил давления газа, совершенную за один цикл.

Рис. 73

Дано

Количество вещества идеального газа $v = 3,0$ моль.
Средняя квадратичная скорость молекул в состоянии 1 $\langle v_{кв1} \rangle = 400 \frac{м}{с}$.
Молярная масса газа $M = 40 \frac{г}{моль}$.

Перевод в систему СИ:

Молярная масса $M = 40 \times 10^{-3} \frac{кг}{моль} = 0,040 \frac{кг}{моль}$.

Найти:

Работу сил давления газа за один цикл $A_{цикла}$.

Решение

Работа, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на каждом из участков цикла: $A_{цикла} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$.

Проанализируем процессы, представленные на графике в координатах p-T (давление-температура):

1. Процессы 1-2 и 3-4 являются изохорными (объем газа не меняется, $V = const$), так как их графики представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат ($p/T = const$). Работа газа в изохорном процессе равна нулю. Следовательно, $A_{12} = 0$ и $A_{34} = 0$.

2. Процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными (давление газа постоянно, $p = const$), так как их графики — горизонтальные линии. Работа газа в этих процессах не равна нулю.

Таким образом, работа за цикл равна: $A_{цикла} = A_{23} + A_{41}$.

Работу в изобарном процессе можно вычислить по формуле $A = p \Delta V$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = vRT$, работу можно выразить через изменение температуры: $A = vR\Delta T$.

Для процесса 2-3: $A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = vR(T_3 - T_2)$.

Для процесса 4-1: $A_{41} = p_1(V_1 - V_4) = vR(T_1 - T_4)$.

Тогда работа за цикл: $A_{цикла} = vR(T_3 - T_2) + vR(T_1 - T_4) = vR(T_1 - T_2 + T_3 - T_4)$.

Из графика определим соотношения между параметрами в состояниях 1, 2, 3 и 4. Примем, что одной клетке на оси температур соответствует значение $T_0$, а на оси давлений — $p_0$. Тогда:

Состояние 1: $T_1 = T_0, p_1 = p_0$.
Состояние 2: $T_2 = 2T_0, p_2 = 2p_0$.
Состояние 3: $T_3 = 4T_0, p_3 = 2p_0$.
Состояние 4: $T_4 = 2T_0, p_4 = p_0$.

Отсюда получаем соотношения: $T_2 = 2T_1$, $T_3 = 4T_1$, $T_4 = 2T_1$.

Подставим эти соотношения в формулу для работы:

$A_{цикла} = vR(T_1 - 2T_1 + 4T_1 - 2T_1) = vR(5T_1 - 4T_1) = vRT_1$.

Температуру $T_1$ можно найти из связи со средней квадратичной скоростью молекул:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Для состояния 1: $\langle v_{кв1} \rangle^2 = \frac{3RT_1}{M}$.

Выразим отсюда произведение $RT_1$:

$RT_1 = \frac{M \langle v_{кв1} \rangle^2}{3}$.

Подставим это выражение в формулу для работы цикла:

$A_{цикла} = v \cdot (RT_1) = v \frac{M \langle v_{кв1} \rangle^2}{3}$.

Выполним численный расчет:

$A_{цикла} = \frac{3,0 \text{ моль} \cdot 0,040 \frac{кг}{моль} \cdot (400 \frac{м}{с})^2}{3} = 1,0 \cdot 0,040 \cdot 160000 = 6400$ Дж.

Ответ: работа сил давления газа, совершенная за один цикл, равна 6400 Дж.