Номер 435, страница 91 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

435. На рисунке 69 представлен циклический процесс, проведенный с идеальным одноатомным газом. В состоянии 1 давление и объем газа равны $p_0 = 1,0 \cdot 10^5$ Па и $V_0 = 0,40$ м$^3$ соответственно. Определите количество теплоты, отданное газом за цикл.

Рис. 69

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$p_1 = p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$V_1 = V_0 = 0,40 \text{ м}^3$

График циклического процесса в координатах V-T.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$Q_{отд}$ - количество теплоты, отданное газом за цикл.

Решение:

Количество теплоты, отданное газом за цикл ($Q_{отд}$), равно сумме количеств теплоты на тех участках, где газ отдавал теплоту холодильнику ($Q < 0$).

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, полученное газом, равно: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, а $A$ — работа, совершённая газом.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

Определим параметры газа (давление $p$, объем $V$ и температуру $T$) в узловых точках цикла 1, 2, 3 и 4, используя данные из условия, график и уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$.

Состояние 1:

Дано: $p_1 = p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$, $V_1 = V_0 = 0,40 \text{ м}^3$. Из графика $T_1 = T_0$.

Из уравнения состояния имеем: $p_0 V_0 = \nu R T_0$.

Состояние 2:

Из графика: $V_2 = V_1 = V_0$, $T_2 = 4T_0$. Процесс 1-2 является изохорным ($V = \text{const}$).

По закону Шарля $\frac{p}{T} = \text{const}$, следовательно $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$, откуда $p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1} = p_0 \frac{4T_0}{T_0} = 4p_0$.

Состояние 4:

Из графика: $V_4 = 2V_0$, $T_4 = 2T_0$. Линия 4-1 является прямой, проходящей через начало координат, что означает $V/T = \text{const}$. Это изобарный процесс ($p = \text{const}$).

Следовательно, давление в состоянии 4 равно давлению в состоянии 1: $p_4 = p_1 = p_0$.

Состояние 3:

Из графика: $V_3 = V_4 = 2V_0$, $T_3 = 8T_0$. Процесс 3-4 является изохорным ($V = \text{const}$).

По закону Шарля $\frac{p_3}{T_3} = \frac{p_4}{T_4}$, откуда $p_3 = p_4 \frac{T_3}{T_4} = p_0 \frac{8T_0}{2T_0} = 4p_0$.

Итак, параметры газа в состояниях:

1: ($p_0, V_0, T_0$)

2: ($4p_0, V_0, 4T_0$)

3: ($4p_0, 2V_0, 8T_0$)

4: ($p_0, 2V_0, 2T_0$)

Теперь найдем количество теплоты для каждого процесса, чтобы определить, на каких участках теплота отдавалась. Теплота отдается ($Q < 0$) при охлаждении и/или сжатии газа.

Процесс 3-4 (изохорное охлаждение):

Температура газа уменьшается с $8T_0$ до $2T_0$. Так как объем постоянен ($V=2V_0$), работа газа равна нулю: $A_{34} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{34} = \frac{3}{2}\nu R (T_4 - T_3) = \frac{3}{2}\nu R (2T_0 - 8T_0) = -9\nu R T_0$.

Используя $p_0 V_0 = \nu R T_0$, получаем $\Delta U_{34} = -9 p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = -9 p_0 V_0$. Так как $Q_{34} < 0$, на этом участке газ отдает тепло.

Процесс 4-1 (изобарное сжатие):

Температура газа уменьшается с $2T_0$ до $T_0$, а объем уменьшается с $2V_0$ до $V_0$.

Работа, совершенная газом: $A_{41} = p_1(V_1 - V_4) = p_0(V_0 - 2V_0) = -p_0 V_0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{41} = \frac{3}{2}\nu R (T_1 - T_4) = \frac{3}{2}\nu R (T_0 - 2T_0) = -\frac{3}{2}\nu R T_0 = -\frac{3}{2}p_0 V_0$.

Количество теплоты: $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} = -\frac{3}{2}p_0 V_0 - p_0 V_0 = -\frac{5}{2}p_0 V_0 = -2,5 p_0 V_0$.

Так как $Q_{41} < 0$, на этом участке газ также отдает тепло.

На участках 1-2 (изохорное нагревание) и 2-3 (изобарное расширение, т.к. $V_2/T_2 = V_0/4T_0$ и $V_3/T_3 = 2V_0/8T_0 = V_0/4T_0$) температура растет, газ совершает положительную или нулевую работу, поэтому теплота поглощается ($Q > 0$).

Суммарное количество теплоты, отданное газом за цикл, равно сумме модулей отрицательных количеств теплоты:

$Q_{отд} = |Q_{34}| + |Q_{41}| = |-9 p_0 V_0| + |-2,5 p_0 V_0| = 9 p_0 V_0 + 2,5 p_0 V_0 = 11,5 p_0 V_0$.

Вычислим значение, подставив исходные данные:

$p_0 V_0 = (1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (0,40 \text{ м}^3) = 4,0 \cdot 10^4 \text{ Дж}$.

$Q_{отд} = 11,5 \cdot (4,0 \cdot 10^4 \text{ Дж}) = 46 \cdot 10^4 \text{ Дж} = 4,6 \cdot 10^5 \text{ Дж}$.

Ответ: количество теплоты, отданное газом за цикл, равно $4,6 \cdot 10^5$ Дж или 460 кДж.