Номер 428, страница 88 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

428. Зависимость абсолютной температуры от объема идеального одноатомного газа, количество вещества которого $v = 2,5$ моль, имеет вид: $T = \alpha V^2$, где $\alpha$ — постоянная величина. Определите количество теплоты, сообщенное газу, если его температура возросла на $\Delta T = 150$ К.

Дано:

Газ - идеальный одноатомный
Количество вещества: $ \nu = 2.5 $ моль
Зависимость температуры от объема: $ T = \alpha V^2 $
Изменение температуры: $ \Delta T = 150 $ К
Универсальная газовая постоянная: $ R \approx 8.31 $ Дж/(моль·К)

Найти:

Количество теплоты $ Q $

Решение:

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$: $ Q = \Delta U + A $

1. Найдем изменение внутренней энергии $\Delta U$.
Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяется формулой $ U = \frac{3}{2} \nu R T $. Следовательно, изменение внутренней энергии при изменении температуры на $\Delta T$ равно: $ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T $

2. Найдем работу газа $A$.
Работа газа при изменении объема от $V_1$ до $V_2$ вычисляется по формуле: $ A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV $ Чтобы найти зависимость давления $p$ от объема $V$, воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $ pV = \nu RT $ и заданной в условии зависимостью $ T = \alpha V^2 $. Подставим выражение для $T$ в уравнение состояния: $ pV = \nu R (\alpha V^2) $ Отсюда выразим давление как функцию объема: $ p = \nu R \alpha V $ Теперь можем вычислить интеграл для работы: $ A = \int_{V_1}^{V_2} (\nu R \alpha V) \, dV = \nu R \alpha \int_{V_1}^{V_2} V \, dV = \nu R \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{1}{2} \nu R \alpha (V_2^2 - V_1^2) $ Из условия $ T = \alpha V^2 $ следует, что для начального и конечного состояний $ T_1 = \alpha V_1^2 $ и $ T_2 = \alpha V_2^2 $. Тогда $ V_2^2 - V_1^2 = \frac{T_2}{\alpha} - \frac{T_1}{\alpha} = \frac{T_2 - T_1}{\alpha} = \frac{\Delta T}{\alpha} $. Подставим это в выражение для работы: $ A = \frac{1}{2} \nu R \alpha \left( \frac{\Delta T}{\alpha} \right) = \frac{1}{2} \nu R \Delta T $

3. Найдем количество теплоты $Q$.
Сложим изменение внутренней энергии и работу: $ Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \frac{1}{2} \nu R \Delta T = \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) \nu R \Delta T = \frac{4}{2} \nu R \Delta T = 2 \nu R \Delta T $

4. Вычислим значение $Q$.
Подставим числовые значения в полученную формулу: $ Q = 2 \cdot 2.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 150 \text{ К} $ $ Q = 5 \cdot 8.31 \cdot 150 \text{ Дж} = 750 \cdot 8.31 \text{ Дж} = 6232.5 \text{ Дж} $

Результат можно выразить в килоджоулях: $ Q \approx 6.23 $ кДж.

Ответ: $ 6232.5 $ Дж.