Номер 427, страница 88 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

427. Давление гелия массой $m = 4,0 \text{ г}$ увеличивается прямо пропорционально объему. Определите, какое количество теплоты подвели к газу при увеличении его температуры на $\Delta T = 20 \text{ К}$.

Дано:

$m = 4,0 \text{ г}$

$\Delta T = 20 \text{ К}$

Газ — гелий (He)

Процесс: $p = k V$, где $k$ — постоянная

Перевод в систему СИ:

$m = 4,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$

Молярная масса гелия $M = 4,0 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

Найти:

$Q$ — количество теплоты, подведенное к газу.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $A$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Гелий — одноатомный газ, поэтому число степеней свободы $i=3$. Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется формулой:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

где $\nu$ — количество вещества (число молей). Найдем количество вещества гелия:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{4,0 \times 10^{-3} \text{ кг}}{4,0 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 1,0 \text{ моль}$

Тогда изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1,0 \text{ моль} \cdot R \cdot 20 \text{ К} = 30 R$

Работа $A$, совершаемая газом, равна площади под графиком процесса в координатах $(p, V)$. Так как давление прямо пропорционально объему ($p = kV$), то работа может быть вычислена как:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p(V) dV = \int_{V_1}^{V_2} kV dV = k \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{1}{2} k (V_2^2 - V_1^2)$

Используя $p_1 = kV_1$ и $p_2 = kV_2$, перепишем выражение для работы:

$A = \frac{1}{2} (kV_2 \cdot V_2 - kV_1 \cdot V_1) = \frac{1}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1)$

Применим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$:

$A = \frac{1}{2} (\nu R T_2 - \nu R T_1) = \frac{1}{2} \nu R (T_2 - T_1) = \frac{1}{2} \nu R \Delta T$

Вычислим работу:

$A = \frac{1}{2} \cdot 1,0 \text{ моль} \cdot R \cdot 20 \text{ К} = 10 R$

Теперь можем найти общее количество подведенной теплоты:

$Q = \Delta U + A = 30 R + 10 R = 40 R$

Подставим числовое значение универсальной газовой постоянной $R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$:

$Q = 40 \cdot 8,31 \text{ Дж} = 332,4 \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$Q \approx 330 \text{ Дж}$

Ответ: $Q = 332,4 \text{ Дж}$ (или приблизительно $330 \text{ Дж}$).