Номер 423, страница 87 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

423. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого $v = 2,0$ моль, перевели из состояния 1 в состояние 4 (рис. 63), сообщив ему количество теплоты $Q_{14} = 49$ кДж. При изотермическом расширении силы давления газа совершили работу $A_{23} = 0,86$ кДж. Определите абсолютную температуру газа в первом состоянии. Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$.

Рис. 63

Дано:

Тип газа: идеальный одноатомный

Количество вещества: $v = 2,0$ моль

Количество теплоты, сообщенное газу: $Q_{14} = 49$ кДж

Работа газа при изотермическом расширении: $A_{23} = 0,86$ кДж

Универсальная газовая постоянная: $R = 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

Перевод в систему СИ:
$Q_{14} = 49 \cdot 10^3$ Дж
$A_{23} = 0,86 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 860$ Дж

Найти:

$T_1$

Решение:

Запишем первый закон термодинамики для всего процесса 1-4:

$Q_{14} = \Delta U_{14} + A_{14}$

где $Q_{14}$ - общее количество теплоты, полученное газом, $\Delta U_{14}$ - изменение внутренней энергии газа при переходе из состояния 1 в состояние 4, $A_{14}$ - общая работа, совершенная газом.

Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа определяется как:

$\Delta U_{14} = U_4 - U_1 = \frac{3}{2}vR(T_4 - T_1)$

Общая работа газа $A_{14}$ равна сумме работ на каждом участке процесса:

$A_{14} = A_{12} + A_{23} + A_{34}$

Проанализируем каждый участок процесса, используя данные с графика (p-V диаграммы):

1. Участок 1-2: Изобарное расширение ($p_1 = const$). Работа газа:

$A_{12} = p_1(V_2 - V_1) = p_1(2V_1 - V_1) = p_1V_1$

2. Участок 2-3: Изотермическое расширение. Работа газа дана по условию:

$A_{23} = 860$ Дж

3. Участок 3-4: Изохорное нагревание ($V_4 = const$). Работа газа равна нулю:

$A_{34} = 0$

Таким образом, общая работа газа составляет:

$A_{14} = p_1V_1 + A_{23}$

Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = vRT$ для определения связи между параметрами в разных состояниях.

Для состояния 1: $p_1V_1 = vRT_1$. Подставим это в выражение для работы $A_{14}$:

$A_{14} = vRT_1 + A_{23}$

Для состояния 4, согласно графику, параметры равны $p_4 = 2,5p_1$ и $V_4 = 4V_1$. Тогда:

$p_4V_4 = (2,5p_1)(4V_1) = 10p_1V_1$

Из уравнения состояния для состояния 4 имеем $p_4V_4 = vRT_4$. Следовательно:

$vRT_4 = 10(vRT_1) \implies T_4 = 10T_1$

Теперь найдем изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{14} = \frac{3}{2}vR(10T_1 - T_1) = \frac{3}{2}vR(9T_1) = \frac{27}{2}vRT_1$

Подставим выражения для $\Delta U_{14}$ и $A_{14}$ в первый закон термодинамики:

$Q_{14} = \frac{27}{2}vRT_1 + (vRT_1 + A_{23})$

$Q_{14} = (\frac{27}{2} + 1)vRT_1 + A_{23}$

$Q_{14} = \frac{29}{2}vRT_1 + A_{23}$

Выразим из этого уравнения искомую температуру $T_1$:

$\frac{29}{2}vRT_1 = Q_{14} - A_{23}$

$T_1 = \frac{2(Q_{14} - A_{23})}{29vR}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = \frac{2 \cdot (49000 \text{ Дж} - 860 \text{ Дж})}{29 \cdot 2,0 \text{ моль} \cdot 8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{2 \cdot 48140}{58 \cdot 8,3} \text{ К} = \frac{96280}{481,4} \text{ К} = 200 \text{ К}$

Ответ: абсолютная температура газа в первом состоянии равна 200 К.