Номер 418, страница 85 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

418. Идеальный одноатомный газ в количестве $v=1$ моль сначала нагрели при постоянном давлении, а затем при

постоянном объеме перевели в состояние с температурой, равной первоначальной температуре $T_1 = 300\text{ К}$. Оказалось, что в итоге газу передано количество теплоты $Q = 12,45\text{ кДж}$. Во сколько раз увеличился объем газа?

Универсальная газовая постоянная $R=8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$.

Дано:

$v = 1$ моль
Газ - идеальный одноатомный
$T_1 = 300$ К
$Q = 12,45$ кДж
$R = 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

$Q = 12,45 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 12450 \text{ Дж}$

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Процесс, описанный в задаче, состоит из двух этапов:
1. Изобарное нагревание (давление постоянно, $p = \text{const}$). Газ переходит из начального состояния 1 ($p_1, V_1, T_1$) в промежуточное состояние 2 ($p_2=p_1, V_2, T_2$).
2. Изохорное охлаждение (объем постоянен, $V = \text{const}$). Газ переходит из состояния 2 ($p_2, V_2, T_2$) в конечное состояние 3 ($p_3, V_3=V_2, T_3$), причем конечная температура равна начальной, $T_3 = T_1$.

Для анализа всего процесса применим первый закон термодинамики:
$Q = \Delta U_{13} + A_{13}$
где $Q$ - общее количество теплоты, переданное газу, $\Delta U_{13}$ - изменение внутренней энергии газа за весь процесс (от состояния 1 до 3), $A_{13}$ - работа, совершенная газом за весь процесс.

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения его температуры. Поскольку начальная температура $T_1$ и конечная температура $T_3$ равны, то общее изменение внутренней энергии равно нулю:
$\Delta U_{13} = U_3 - U_1 = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_1) = 0$

Общая работа, совершенная газом, складывается из работ на каждом этапе: $A_{13} = A_{12} + A_{23}$.
Работа на этапе изобарного нагревания (1-2) определяется как $A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$.
Работа на этапе изохорного охлаждения (2-3) равна нулю, так как объем газа не меняется ($A_{23} = 0$).
Следовательно, общая работа за весь процесс равна работе на первом этапе: $A_{13} = A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$.

Подставляя найденные значения $\Delta U_{13}$ и $A_{13}$ в уравнение первого закона термодинамики, получаем:
$Q = 0 + p_1(V_2 - V_1) = p_1V_2 - p_1V_1$

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) для состояний 1 и 2:
$p_1V_1 = vRT_1$
$p_1V_2 = vRT_2$ (так как процесс 1-2 изобарный, $p_2 = p_1$)

Подставим эти выражения в формулу для количества теплоты $Q$:
$Q = vRT_2 - vRT_1 = vR(T_2 - T_1)$

Из этого уравнения выразим температуру газа в промежуточном состоянии $T_2$:
$T_2 = T_1 + \frac{Q}{vR}$

Для изобарного процесса (1-2) справедлив закон Гей-Люссака, который связывает объемы и температуры:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
Отсюда искомое отношение объемов равно отношению температур:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $T_2$:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_1 + \frac{Q}{vR}}{T_1} = 1 + \frac{Q}{vRT_1}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:
$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{12450 \text{ Дж}}{1 \text{ моль} \cdot 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 300 \text{ К}} = 1 + \frac{12450}{2490} = 1 + 5 = 6$

Ответ: объем газа увеличился в 6 раз.