Номер 412, страница 85 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

412. При изохорном нагревании идеальный одноатомный газ получил количество теплоты $Q_1 = 30 \text{ Дж.}$. Определите, какое количество теплоты отдал газ при изобарном охлаждении до первоначальной температуры.

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Процесс 1-2: изохорное нагревание ($V = \text{const}$)

Количество теплоты, полученное в процессе 1-2: $Q_1 = 30$ Дж

Процесс 2-3: изобарное охлаждение ($P = \text{const}$)

Конечная температура равна начальной: $T_3 = T_1$

Найти:

Количество теплоты, которое отдал газ, $Q_{отд}$ - ?

Решение:

Задача описывает два последовательных термодинамических процесса.

1. Изохорное нагревание.

Газ получает количество теплоты $Q_1$. Согласно первому закону термодинамики, $Q_1 = \Delta U_{12} + A_{12}$, где $\Delta U_{12}$ – изменение внутренней энергии газа, а $A_{12}$ – работа, совершённая газом.

Поскольку процесс изохорный ($V = \text{const}$), работа газа равна нулю ($A_{12} = 0$). Следовательно, вся полученная теплота идет на увеличение внутренней энергии:

$Q_1 = \Delta U_{12}$

Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии определяется формулой:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

где $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная температуры в этом процессе.

Таким образом, мы имеем:

$Q_1 = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1) = 30$ Дж

2. Изобарное охлаждение.

Газ охлаждается от температуры $T_2$ до первоначальной температуры $T_1$ при постоянном давлении. Количество теплоты $Q_2$, участвующее в этом процессе, равно:

$Q_2 = \Delta U_{23} + A_{23}$

Изменение внутренней энергии при охлаждении от $T_2$ до $T_1$:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}\nu R (T_1 - T_2) = -\frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

Сравнивая с выражением для $Q_1$, видим, что:

$\Delta U_{23} = -Q_1 = -30$ Дж

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе ($P = \text{const}$), вычисляется как $A_{23} = P\Delta V$. Используя уравнение состояния идеального газа $PV = \nu RT$, работу можно выразить через изменение температуры:

$A_{23} = \nu R (T_1 - T_2)$

Теперь можем найти $Q_2$, подставив выражения для $\Delta U_{23}$ и $A_{23}$:

$Q_2 = \frac{3}{2}\nu R (T_1 - T_2) + \nu R (T_1 - T_2) = \frac{5}{2}\nu R (T_1 - T_2)$

Чтобы найти численное значение $Q_2$, выразим его через известную величину $Q_1$. Из первого процесса мы получили, что $Q_1 = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$. Отсюда можно выразить $\nu R (T_2 - T_1) = \frac{2}{3}Q_1$.

Подставим это в выражение для $Q_2$:

$Q_2 = \frac{5}{2}\nu R (T_1 - T_2) = -\frac{5}{2}\nu R (T_2 - T_1) = -\frac{5}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}Q_1\right) = -\frac{5}{3}Q_1$

Теперь вычислим значение $Q_2$:

$Q_2 = -\frac{5}{3} \cdot 30 = -50$ Дж

Отрицательное значение $Q_2$ означает, что газ не получает, а отдает тепло. Количество отданной теплоты $Q_{отд}$ равно модулю $Q_2$.

$Q_{отд} = |Q_2| = 50$ Дж

Ответ: 50 Дж.