Номер 415, страница 85 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

415. Гелий массой $m = 8,0$ г нагрели сначала изохорно, а затем изобарно. В результате как давление, так и объем газа увеличились в два раза. Определите количество теплоты, полученное гелием, если его начальная температура была $T_1 = 290$ К.

Дано:

Газ – гелий (He)

Масса гелия, $m = 8,0 \text{ г}$

Начальная температура, $T_1 = 290 \text{ К}$

Процесс 1-2: изохорный ($V = \text{const}$)

Процесс 2-3: изобарный ($P = \text{const}$)

Конечное давление, $P_3 = 2P_1$

Конечный объем, $V_3 = 2V_1$

Молярная масса гелия, $M = 4 \text{ г/моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 8,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$M = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Общее количество теплоты, полученное газом, $Q_{общ}$

Решение:

Весь процесс можно разбить на два этапа: изохорное нагревание (1-2) и изобарное нагревание (2-3). Общее количество теплоты, полученное газом, равно сумме теплоты, полученной на каждом этапе:

$Q_{общ} = Q_{12} + Q_{23}$

Обозначим параметры газа в начальном состоянии (1), промежуточном (2) и конечном (3) как $(P_1, V_1, T_1)$, $(P_2, V_2, T_2)$ и $(P_3, V_3, T_3)$ соответственно.

1. Изохорный процесс (1-2):

В этом процессе объем постоянен: $V_2 = V_1$. Давление изменяется от $P_1$ до $P_2$. Так как следующий процесс изобарный, то всё изменение давления происходит на этом этапе, то есть $P_2 = 2P_1$.

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q_{12}$, полученное газом, равно $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$.

Поскольку процесс изохорный, работа газа $A_{12} = 0$. Тогда $Q_{12} = \Delta U_{12}$.

Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа (гелий) равно: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)$, где $\nu = \frac{m}{M}$ – количество вещества.

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$. Отсюда найдем температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{P_2}{P_1} = T_1 \frac{2P_1}{P_1} = 2T_1$

Тогда количество теплоты на первом этапе:

$Q_{12} = \frac{3}{2}\frac{m}{M}R(2T_1 - T_1) = \frac{3}{2}\frac{m}{M}RT_1$

2. Изобарный процесс (2-3):

В этом процессе давление постоянно: $P_3 = P_2 = 2P_1$. Объем изменяется от $V_2$ до $V_3 = 2V_1$. Так как $V_2 = V_1$, то $V_3 = 2V_2$.

Количество теплоты для изобарного процесса для одноатомного газа вычисляется по формуле:

$Q_{23} = \frac{5}{2}\nu R(T_3 - T_2) = \frac{5}{2}\frac{m}{M}R(T_3 - T_2)$

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака: $\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$. Отсюда найдем температуру $T_3$:

$T_3 = T_2 \frac{V_3}{V_2} = T_2 \frac{2V_2}{V_2} = 2T_2$

Поскольку $T_2 = 2T_1$, то $T_3 = 2(2T_1) = 4T_1$.

Тогда количество теплоты на втором этапе:

$Q_{23} = \frac{5}{2}\frac{m}{M}R(4T_1 - 2T_1) = \frac{5}{2}\frac{m}{M}R(2T_1) = 5\frac{m}{M}RT_1$

3. Общее количество теплоты:

Теперь найдем общее количество теплоты, сложив $Q_{12}$ и $Q_{23}$:

$Q_{общ} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}\frac{m}{M}RT_1 + 5\frac{m}{M}RT_1 = (\frac{3}{2} + 5)\frac{m}{M}RT_1 = \frac{13}{2}\frac{m}{M}RT_1$

Подставим числовые значения:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{8,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 2 \text{ моль}$

$Q_{общ} = \frac{13}{2} \cdot 2 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 290 \text{ К} = 13 \cdot 8,31 \cdot 290 \text{ Дж}$

$Q_{общ} = 31328,7 \text{ Дж} \approx 31,3 \text{ кДж}$

Ответ: $Q_{общ} \approx 31,3 \text{ кДж}$.