Номер 410, страница 84 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

410. При изотермическом расширении идеального одноатомного газа, количество вещества которого $v = 1,00$ моль, сила давления газа совершила работу $A = 1,577$ кДж. При последующем изобарном нагревании газу сообщили в два раза большее количество теплоты, чем при изотермическом расширении. Определите начальную абсолютную температуру газа, если конечная температура газа $T_2 = 454$ K.

Дано:
ν = 1,00 моль
A₁ = 1,577 кДж (работа при изотермическом расширении)
T₂ = 454 К (конечная температура)
Процесс 1: изотермическое расширение ($T_0=const$)
Процесс 2: изобарное нагревание ($p=const$)
$Q_2 = 2Q_1$ (теплота во втором процессе в 2 раза больше, чем в первом)
Газ – идеальный одноатомный
R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) (универсальная газовая постоянная)

A₁ = 1,577 кДж = $1,577 \cdot 10^3$ Дж = 1577 Дж

Найти:
$T_0$ - ? (начальная абсолютная температура)

Решение:

Разобьем задачу на два этапа, соответствующих двум процессам, происходящим с газом.

1. Изотермическое расширение.

Газ расширяется при постоянной температуре $T_0$. Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q_1$, подведенное к газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $ΔU_1$ и на совершение газом работы $A_1$:

$Q_1 = ΔU_1 + A_1$

Поскольку для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, а в изотермическом процессе температура не меняется ($T_0 = const$), то изменение внутренней энергии равно нулю: $ΔU_1 = 0$.

Следовательно, вся подведенная к газу теплота идет на совершение им работы:

$Q_1 = A_1 = 1577 \text{ Дж}$

2. Изобарное нагревание.

После изотермического расширения газ нагревают при постоянном давлении. Начальная температура этого процесса $T_1$ равна температуре, при которой происходил первый процесс, то есть $T_1 = T_0$. Конечная температура $T_2 = 454 \text{ К}$.

По условию, количество теплоты $Q_2$, сообщенное газу на этом этапе, в два раза больше количества теплоты $Q_1$, сообщенного на первом этапе:

$Q_2 = 2Q_1 = 2A_1$

Количество теплоты, необходимое для изобарного нагревания газа, можно найти по формуле:

$Q_2 = C_p \cdot ν \cdot (T_2 - T_1)$

где $C_p$ – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении, $ν$ – количество вещества. Для одноатомного идеального газа $C_p = \frac{5}{2}R$.

Подставив $T_1 = T_0$ и выражение для $C_p$, получим:

$Q_2 = \frac{5}{2}νR(T_2 - T_0)$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $Q_2$:

$2A_1 = \frac{5}{2}νR(T_2 - T_0)$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру $T_0$:

$4A_1 = 5νR(T_2 - T_0)$

$T_2 - T_0 = \frac{4A_1}{5νR}$

$T_0 = T_2 - \frac{4A_1}{5νR}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$T_0 = 454 \text{ К} - \frac{4 \cdot 1577 \text{ Дж}}{5 \cdot 1,00 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = 454 \text{ К} - \frac{6308}{41,55} \text{ К} \approx 454 \text{ К} - 151,8 \text{ К} \approx 302,2 \text{ К}$

Округляя результат до целого числа, получаем $T_0 \approx 302 \text{ К}$.

Ответ: начальная абсолютная температура газа $T_0 \approx 302 \text{ К}$.