Номер 407, страница 83 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

407. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 59) получил количество теплоты

p

0 $V_1$ 4$V_1$ 8$V_1$

Рис. 59

$Q_{12} = 15$ Дж. Определите работу, совершенную силой давления газа на участке 2—3.

Дано

Газ: идеальный, одноатомный

$Q_{12} = 15$ Дж

Из графика:

$p_2 = p_1$

$V_2 = 4V_1$

$p_3 = 2p_1$

$V_3 = 8V_1$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$A_{23}$ - ?

Решение

Рассмотрим процесс 1–2. Это изобарное расширение, так как давление $p_1$ остается постоянным.

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, полученное газом, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12}$

Работа газа при изобарном процессе вычисляется по формуле:

$A_{12} = p_1 \Delta V = p_1(V_2 - V_1)$

Используя данные из графика ($V_2 = 4V_1$), получаем:

$A_{12} = p_1(4V_1 - V_1) = 3p_1V_1$

Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа определяется как:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$

Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, можно записать:

$\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$

Для процесса 1–2 изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(p_1(4V_1) - p_1V_1) = \frac{3}{2}(3p_1V_1) = \frac{9}{2}p_1V_1$

Теперь подставим выражения для работы и изменения внутренней энергии в первый закон термодинамики:

$Q_{12} = \frac{9}{2}p_1V_1 + 3p_1V_1 = (\frac{9}{2} + \frac{6}{2})p_1V_1 = \frac{15}{2}p_1V_1$

По условию $Q_{12} = 15$ Дж. Приравняем и найдем произведение $p_1V_1$:

$15 = \frac{15}{2}p_1V_1$

$p_1V_1 = 2$ Дж

Теперь рассмотрим процесс 2–3. Работа газа $A_{23}$ на p-V диаграмме численно равна площади фигуры под графиком процесса. В данном случае это площадь трапеции с основаниями $p_2$ и $p_3$ и высотой $(V_3 - V_2)$.

$A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2}(V_3 - V_2)$

Подставим значения из графика ($p_2 = p_1, p_3 = 2p_1, V_2 = 4V_1, V_3 = 8V_1$):

$A_{23} = \frac{p_1 + 2p_1}{2}(8V_1 - 4V_1) = \frac{3p_1}{2}(4V_1) = 6p_1V_1$

Мы уже вычислили, что $p_1V_1 = 2$ Дж. Подставим это значение в выражение для работы $A_{23}$:

$A_{23} = 6 \cdot (p_1V_1) = 6 \cdot 2 = 12$ Дж

Ответ: $12$ Дж.