Номер 402, страница 82 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

402. С идеальным газом, масса которого постоянна, провели три процесса — AB, BC и CD, показанные на рисунке 54. Сравните между собой количество теплоты, полученное газом на каждом процессе.

$P$

0 $T_0$ $2T_0$ $3T_0$ $4T_0$ $T$

Рис. 54

Дано:

Идеальный газ, масса $m = const$.
Процессы AB, BC, CD на $p-T$ диаграмме.
Параметры в узловых точках (в условных единицах $p_0$ и $T_0$):
Точка A: $T_A = T_0$, $p_A = p_0$
Точка B: $T_B = 2T_0$, $p_B = 2p_0$
Точка C: $T_C = 3T_0$, $p_C = p_0$
Точка D: $T_D = 4T_0$, $p_D = 3p_0$

Найти:

Сравнить количества теплоты $Q_{AB}$, $Q_{BC}$ и $Q_{CD}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся первым началом термодинамики, согласно которому количество теплоты, полученное газом, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы против внешних сил: $Q = \Delta U + A'$, где $\Delta U$ – изменение внутренней энергии газа, а $A'$ – работа, совершаемая газом.

1. Сравним изменение внутренней энергии на каждом участке.
Изменение внутренней энергии идеального газа постоянной массы зависит только от изменения его температуры: $\Delta U = C_V \Delta T$, где $C_V$ – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Найдем изменение температуры для каждого процесса:

- Процесс AB: $\Delta T_{AB} = T_B - T_A = 2T_0 - T_0 = T_0$.

- Процесс BC: $\Delta T_{BC} = T_C - T_B = 3T_0 - 2T_0 = T_0$.

- Процесс CD: $\Delta T_{CD} = T_D - T_C = 4T_0 - 3T_0 = T_0$.

Так как изменение температуры на всех трех участках одинаково ($\Delta T_{AB} = \Delta T_{BC} = \Delta T_{CD} = T_0$), то и изменение внутренней энергии газа на этих участках также одинаково: $\Delta U_{AB} = \Delta U_{BC} = \Delta U_{CD}$.

2. Сравним работу газа на каждом участке.
Работа, совершаемая газом, зависит от изменения его объема. Для определения изменения объема воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, откуда $V = \frac{\nu RT}{p}$.

Процесс AB
Найдем объемы газа в точках A и B: $V_A = \frac{\nu R T_A}{p_A} = \frac{\nu R T_0}{p_0}$ $V_B = \frac{\nu R T_B}{p_B} = \frac{\nu R (2T_0)}{2p_0} = \frac{\nu R T_0}{p_0}$ Поскольку $V_A = V_B$, объем газа не меняется. Это изохорный процесс. Работа газа на этом участке равна нулю: $A'_{AB} = 0$.

Процесс BC
Найдем объем газа в точке C: $V_C = \frac{\nu R T_C}{p_C} = \frac{\nu R (3T_0)}{p_0} = 3 \frac{\nu R T_0}{p_0}$ Сравнивая с объемом в точке B, видим, что $V_C > V_B$. Объем газа увеличивается, следовательно, газ совершает положительную работу: $A'_{BC} > 0$.

Процесс CD
Найдем объем газа в точке D: $V_D = \frac{\nu R T_D}{p_D} = \frac{\nu R (4T_0)}{3p_0} = \frac{4}{3} \frac{\nu R T_0}{p_0}$ Сравнивая с объемом в точке C ($V_C = 3 \frac{\nu R T_0}{p_0}$), видим, что $V_D < V_C$. Объем газа уменьшается, следовательно, газ совершает отрицательную работу (или внешние силы совершают над газом положительную работу): $A'_{CD} < 0$.

3. Сравним количества теплоты.
Теперь мы можем сравнить количества теплоты, используя полученные данные.

- $Q_{AB} = \Delta U_{AB} + A'_{AB} = \Delta U_{AB} + 0 = \Delta U_{AB}$

- $Q_{BC} = \Delta U_{BC} + A'_{BC}$. Так как $\Delta U_{BC} = \Delta U_{AB}$ и $A'_{BC} > 0$, то $Q_{BC} > Q_{AB}$.

- $Q_{CD} = \Delta U_{CD} + A'_{CD}$. Так как $\Delta U_{CD} = \Delta U_{AB}$ и $A'_{CD} < 0$, то $Q_{CD} < Q_{AB}$.

Таким образом, расположив количества теплоты в порядке возрастания, получаем: $Q_{CD} < Q_{AB} < Q_{BC}$.

Ответ: $Q_{CD} < Q_{AB} < Q_{BC}$.