Номер 398, страница 81 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

398. При изобарном нагревании абсолютная температура идеального одноатомного газа увеличилась в $k = 3$ раза.

Определите количество теплоты, сообщенное газу, если его давление $p = 250$ кПа, а начальный объем $V_1 = 0,80$ л.

Дано:

Процесс: изобарный ($p = \text{const}$)

Газ: идеальный одноатомный

Коэффициент увеличения температуры: $k = 3$

Давление: $p = 250 \text{ кПа}$

Начальный объем: $V_1 = 0,80 \text{ л}$

$p = 250 \text{ кПа} = 250 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$V_1 = 0,80 \text{ л} = 0,80 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$Q$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

Поскольку газ идеальный и одноатомный, изменение его внутренней энергии $\Delta U$ вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

где $\nu$ – количество вещества газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная абсолютные температуры.

Процесс нагревания является изобарным ($p = \text{const}$), поэтому работа, совершаемая газом, равна:

$A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)$

где $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы газа.

Для изобарного процесса применим закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Из условия задачи известно, что абсолютная температура увеличилась в $k=3$ раза, то есть $T_2 = k \cdot T_1 = 3T_1$.

Выразим конечный объем $V_2$:

$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1} = V_1 \frac{k T_1}{T_1} = k V_1$

Теперь выразим работу $A$ и изменение внутренней энергии $\Delta U$ через известные параметры. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$.

Работа газа:

$A = p (V_2 - V_1) = p (k V_1 - V_1) = p V_1 (k - 1)$

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(\nu R T_2 - \nu R T_1)$

Используя $pV = \nu RT$, получаем:

$\Delta U = \frac{3}{2}(p V_2 - p V_1) = \frac{3}{2}p(V_2 - V_1) = \frac{3}{2}p(k V_1 - V_1) = \frac{3}{2} p V_1 (k - 1)$

Подставим полученные выражения для $A$ и $\Delta U$ в формулу первого закона термодинамики:

$Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} p V_1 (k - 1) + p V_1 (k - 1) = (\frac{3}{2} + 1) p V_1 (k - 1) = \frac{5}{2} p V_1 (k - 1)$

Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу:

$Q = \frac{5}{2} \cdot (250 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (0,80 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (3 - 1)$

$Q = \frac{5}{2} \cdot (250 \cdot 10^3) \cdot (0,80 \cdot 10^{-3}) \cdot 2 = 5 \cdot 250 \cdot 0,80 = 5 \cdot 200 = 1000 \text{ Дж}$

Ответ: $1000$ Дж.