Номер 399, страница 81 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

399. Идеальному одноатомному газу, находящемуся в баллоне, сообщили количество теплоты $Q = 15$ кДж. При этом средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа увеличилась в $\alpha = 1,2$ раза. Определите начальную температуру газа, если его количество вещества $v = 8,0$ моль.

Дано:

Газ - идеальный одноатомный

$Q = 15 \text{ кДж}$

$\alpha = \frac{v_{кв2}}{v_{кв1}} = 1,2$

$\nu = 8,0 \text{ моль}$

$V = \text{const}$ (газ в баллоне)

Перевод в систему СИ:

$Q = 15 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$T_1 - ?$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, сообщенное газу количество теплоты $Q$ идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Поскольку газ находится в баллоне, его объем не изменяется, то есть процесс является изохорным ($V = \text{const}$). Работа газа в изохорном процессе равна нулю ($A = 0$). Тогда первый закон термодинамики принимает вид:

$Q = \Delta U$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для идеального одноатомного газа определяется как разность конечной ($U_2$) и начальной ($U_1$) энергий:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}\nu R T_2 - \frac{3}{2}\nu R T_1 = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

где $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$), $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная абсолютные температуры газа.

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул газа связана с абсолютной температурой соотношением:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 v_{кв}^2}{2} = \frac{3}{2} k T$

Из этой формулы следует, что температура газа пропорциональна квадрату средней квадратичной скорости его молекул: $T \propto v_{кв}^2$.

Следовательно, отношение конечной и начальной температур равно:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{v_{кв2}^2}{v_{кв1}^2} = \left(\frac{v_{кв2}}{v_{кв1}}\right)^2 = \alpha^2$

Отсюда выразим конечную температуру: $T_2 = T_1 \alpha^2$.

Подставим это выражение в формулу для количества теплоты:

$Q = \frac{3}{2}\nu R (T_1 \alpha^2 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R T_1 (\alpha^2 - 1)$

Из полученного уравнения выразим начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{2Q}{3\nu R (\alpha^2 - 1)}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$T_1 = \frac{2 \cdot 15 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{3 \cdot 8,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (1,2^2 - 1)} = \frac{30000}{24 \cdot 8,31 \cdot (1,44 - 1)} = \frac{30000}{199,44 \cdot 0,44} \approx \frac{30000}{87,75} \approx 341,87 \text{ К}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$T_1 \approx 340 \text{ К}$

Ответ: начальная температура газа была приблизительно 340 К.