Номер 393, страница 80 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

393. В вертикальном цилиндре под гладким поршнем массой $m = 5,0$ кг находится идеальный одноатомный газ. Площадь поперечного сечения поршня $S = 50$ см$^2$. Газу сообщили количество теплоты $Q = 770$ Дж. Определите модуль перемещения поршня, если атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа.

Дано:

$m = 5,0 \text{ кг}$
$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
$Q = 770 \text{ Дж}$
$p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
Газ — идеальный одноатомный

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Поскольку поршень гладкий и может свободно перемещаться в вертикальном цилиндре, давление газа под ним остается постоянным во время его подъема. Этот процесс является изобарным. Давление газа $p$ уравновешивает сумму атмосферного давления $p_0$ и давления, создаваемого весом поршня:

$p = p_0 + \frac{mg}{S}$

где $g$ – ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$).

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V$

где $\Delta V$ – изменение объема газа. Изменение объема связано с перемещением поршня $\Delta h$ соотношением $\Delta V = S \Delta h$. Подставив выражение для давления $p$, получим:

$A = (p_0 + \frac{mg}{S}) S \Delta h = (p_0 S + mg) \Delta h$

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия равна $U = \frac{3}{2}\nu RT$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, можно записать $U = \frac{3}{2}pV$.

При изобарном процессе ($p = \text{const}$) изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U = \frac{3}{2}p\Delta V$

Так как работа газа при изобарном процессе $A = p\Delta V$, то для одноатомного газа существует простое соотношение между изменением внутренней энергии и работой:

$\Delta U = \frac{3}{2} A$

Подставим это соотношение в первый закон термодинамики:

$Q = \frac{3}{2}A + A = \frac{5}{2}A$

Из этого уравнения выразим работу, совершенную газом:

$A = \frac{2}{5}Q$

Теперь приравняем два полученных выражения для работы $A$:

$(p_0 S + mg) \Delta h = \frac{2}{5}Q$

Отсюда найдем искомое перемещение поршня $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{2Q}{5(p_0 S + mg)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\Delta h = \frac{2 \cdot 770 \text{ Дж}}{5(10^5 \text{ Па} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 + 5,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)} = \frac{1540}{5(500 + 50)} = \frac{1540}{5 \cdot 550} = \frac{1540}{2750} = 0,56 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения поршня равен 0,56 м.