Номер 396, страница 81 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

396. При изобарном расширении аргона, количество вещества которого $\nu = 5,0$ моль, его объем увеличился в $k = 5,0$ раза, а внутренняя энергия повысилась на $\Delta U = 60$ кДж. Определите начальную температуру аргона и количество теплоты, переданное ему.

Дано:

$ν = 5.0 \text{ моль}$

$k = \frac{V_2}{V_1} = 5.0$

$\Delta U = 60 \text{ кДж} = 60 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Процесс изобарный: $p = \text{const}$

Газ - аргон (Ar), одноатомный газ, число степеней свободы $i=3$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

$T_1$ - ?

$Q$ - ?

Решение:

Определение начальной температуры аргона

Изменение внутренней энергии для идеального одноатомного газа (каким является аргон) определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2} ν R \Delta T = \frac{3}{2} ν R (T_2 - T_1)$

где $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная температуры газа.

Поскольку процесс изобарный ($p = \text{const}$), то по закону Гей-Люссака отношение объема к температуре постоянно:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Из условия задачи известно, что объем увеличился в $k = 5.0$ раз, то есть $V_2 = k \cdot V_1$. Подставим это в закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{k \cdot V_1}{T_2} \implies T_2 = k \cdot T_1$

Теперь подставим выражение для $T_2$ в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} ν R (k \cdot T_1 - T_1) = \frac{3}{2} ν R T_1 (k - 1)$

Выразим из этой формулы начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{2 \Delta U}{3 ν R (k - 1)}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = \frac{2 \cdot 60 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{3 \cdot 5.0 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (5.0 - 1)} = \frac{120000}{15 \cdot 8.31 \cdot 4} = \frac{120000}{60 \cdot 8.31} = \frac{2000}{8.31} \approx 240.67 \text{ К}$

С учетом значащих цифр исходных данных, округляем результат.

Ответ: начальная температура аргона $T_1 \approx 240 \text{ К}$.

Определение количества теплоты, переданного ему

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение работы газом $A$:

$Q = \Delta U + A$

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном расширении, вычисляется по формуле:

$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

Используя уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона ($pV = νRT$), работу можно выразить через изменение температуры:

$A = pV_2 - pV_1 = νRT_2 - νRT_1 = νR(T_2 - T_1) = νR \Delta T$

Из формулы для изменения внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2} ν R \Delta T$ выразим $νR \Delta T$:

$νR \Delta T = \frac{2}{3} \Delta U$

Следовательно, работа газа равна:

$A = \frac{2}{3} \Delta U$

Подставим выражение для работы в первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A = \Delta U + \frac{2}{3} \Delta U = \frac{5}{3} \Delta U$

Теперь можно вычислить количество переданной теплоты:

$Q = \frac{5}{3} \cdot 60 \text{ кДж} = 5 \cdot 20 \text{ кДж} = 100 \text{ кДж}$

Ответ: количество теплоты, переданное аргону, $Q = 100 \text{ кДж}$.