Номер 406, страница 83 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

406. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из состояния А в состояние С (рис. 58). Определите, какое количество теплоты получил газ, если в состоянии А давление $p_A = p_0 = 100$ кПа, объем $V_A = 3V_0 = 30$ л.

Рис. 58

Дано:

Газ - идеальный одноатомный

Процесс A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ C

$p_A = p_0 = 100 \text{ кПа}$

$V_A = 3V_0 = 30 \text{ л}$

Система СИ:
$p_A = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
$V_A = 30 \text{ л} = 30 \times 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,03 \text{ м}^3$

Найти:

$Q$ - количество теплоты, полученное газом.

Решение:

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, полученное газом, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Для всего процесса от состояния А до состояния С данное уравнение примет вид:

$Q_{AC} = \Delta U_{AC} + A_{AC}$

где $\Delta U_{AC} = U_C - U_A$ — полное изменение внутренней энергии газа, а $A_{AC}$ — полная работа, совершенная газом.

Так как газ является идеальным одноатомным, его внутренняя энергия вычисляется по формуле $U = \frac{3}{2}\nu RT = \frac{3}{2}pV$. Тогда изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{AC} = \frac{3}{2}(p_C V_C - p_A V_A)$

Работа, совершаемая газом, численно равна площади под графиком процесса в координатах $p-V$. Полная работа $A_{AC}$ равна сумме работ на участках A-B и B-C:

$A_{AC} = A_{AB} + A_{BC}$

Для проведения расчетов определим параметры газа в состояниях A, B и C, используя данные из условия и график.

Из условия известно:

$p_A = p_0 = 10^5 \text{ Па}$

$V_A = 3V_0 = 0,03 \text{ м}^3$

Из соотношения $3V_0 = 0,03 \text{ м}^3$ находим $V_0 = 0,01 \text{ м}^3$.

Параметры в точке B (из графика):

$\frac{V_B}{V_0} = 5 \implies V_B = 5V_0 = 5 \times 0,01 \text{ м}^3 = 0,05 \text{ м}^3$

$\frac{p_B}{p_0} = 2 \implies p_B = 2p_0 = 2 \times 10^5 \text{ Па}$

Параметры в точке C (из графика):

$\frac{V_C}{V_0} = 7 \implies V_C = 7V_0 = 7 \times 0,01 \text{ м}^3 = 0,07 \text{ м}^3$

$\frac{p_C}{p_0} = 2 \implies p_C = 2p_0 = 2 \times 10^5 \text{ Па}$

Теперь рассчитаем изменение внутренней энергии $\Delta U_{AC}$:

$\Delta U_{AC} = \frac{3}{2}( (2 \times 10^5 \text{ Па} \times 0,07 \text{ м}^3) - (10^5 \text{ Па} \times 0,03 \text{ м}^3) ) = \frac{3}{2}(14000 \text{ Дж} - 3000 \text{ Дж})$

$\Delta U_{AC} = \frac{3}{2}(11000 \text{ Дж}) = 16500 \text{ Дж}$

Далее рассчитаем работу газа. На участке A-B давление изменяется линейно с объемом, работа равна площади трапеции:

$A_{AB} = \frac{p_A + p_B}{2} (V_B - V_A) = \frac{10^5 \text{ Па} + 2 \times 10^5 \text{ Па}}{2} (0,05 \text{ м}^3 - 0,03 \text{ м}^3)$

$A_{AB} = \frac{3 \times 10^5}{2} \times 0,02 = 3000 \text{ Дж}$

На участке B-C процесс изобарный (давление постоянно), работа равна площади прямоугольника:

$A_{BC} = p_B (V_C - V_B) = 2 \times 10^5 \text{ Па} \times (0,07 \text{ м}^3 - 0,05 \text{ м}^3)$

$A_{BC} = 2 \times 10^5 \times 0,02 = 4000 \text{ Дж}$

Полная работа газа за весь процесс:

$A_{AC} = A_{AB} + A_{BC} = 3000 \text{ Дж} + 4000 \text{ Дж} = 7000 \text{ Дж}$

Наконец, найдем общее количество теплоты, полученное газом:

$Q_{AC} = \Delta U_{AC} + A_{AC} = 16500 \text{ Дж} + 7000 \text{ Дж} = 23500 \text{ Дж}$

Выразим ответ в килоджоулях:

$Q_{AC} = 23,5 \text{ кДж}$

Ответ: газ получил количество теплоты, равное 23,5 кДж.