Номер 414, страница 85 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

414. Идеальный одноатомный газ в количестве $\nu = 1,0$ моль нагрели сначала изобарно, а затем изохорно. В результате как давление, так и объем газа увеличились в два раза. Определите количество теплоты, полученное газом, если его начальная температура была $T_1 = 240$ К.

Дано:

ν = 1,0 моль
$T_1 = 240$ К
Процесс 1-2: изобарный ($p = \text{const}$)
Процесс 2-3: изохорный ($V = \text{const}$)
$p_3 = 2p_1$
$V_3 = 2V_1$
Газ – идеальный одноатомный
R ≈ 8,31 Дж/(моль·К)

Найти:

Q - общее количество теплоты, полученное газом.

Решение:

Общее количество теплоты, полученное газом, равно сумме теплоты, полученной в ходе изобарного ($Q_{12}$) и изохорного ($Q_{23}$) процессов:

$Q = Q_{12} + Q_{23}$

Согласно первому закону термодинамики, общее количество теплоты можно также найти как сумму изменения внутренней энергии газа и совершенной им работы за весь процесс:

$Q = \Delta U + A$

Найдем общее изменение внутренней энергии газа. Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяется формулой $U = \frac{3}{2}νRT$. Тогда изменение внутренней энергии за весь процесс от состояния 1 до состояния 3 равно:

$\Delta U = U_3 - U_1 = \frac{3}{2}νR(T_3 - T_1)$

Чтобы найти температуру в конечном состоянии ($T_3$), воспользуемся уравнением состояния идеального газа для начального и конечного состояний:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_3V_3}{T_3}$

Подставим известные соотношения $p_3 = 2p_1$ и $V_3 = 2V_1$:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{(2p_1)(2V_1)}{T_3} = \frac{4p_1V_1}{T_3}$

Отсюда находим конечную температуру:

$T_3 = 4T_1$

Теперь можем вычислить изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2}νR(4T_1 - T_1) = \frac{3}{2}νR(3T_1) = \frac{9}{2}νRT_1$

Теперь найдем общую работу, совершенную газом. Работа совершается только на первом, изобарном, участке, так как на втором, изохорном, объем не меняется и работа равна нулю ($A_{23}=0$).

$A = A_{12} + A_{23} = A_{12} + 0 = p_1(V_2 - V_1)$

Поскольку второй процесс изохорный, то объем в состоянии 2 равен объему в состоянии 3: $V_2 = V_3$. По условию, $V_3 = 2V_1$, следовательно, $V_2 = 2V_1$.

$A = p_1(2V_1 - V_1) = p_1V_1$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния: $p_1V_1 = νRT_1$.

Таким образом, работа газа $A = νRT_1$.

Теперь найдем общее количество теплоты:

$Q = \Delta U + A = \frac{9}{2}νRT_1 + νRT_1 = \frac{11}{2}νRT_1$

Подставим числовые значения:

$Q = \frac{11}{2} \cdot 1,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 240 \text{ К} = 11 \cdot 1,0 \cdot 8,31 \cdot 120 \text{ Дж} \approx 10969,2$ Дж

Округляя до двух значащих цифр (как в ν = 1,0 моль), получаем:

$Q \approx 11000 \text{ Дж} = 11$ кДж.

Ответ: $Q \approx 11$ кДж.