Номер 419, страница 86 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

419. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, занимал объем $V_1 = 1,0 \text{ м}^3$. Сначала газ изобарно нагрели, и его объем увеличился до $V_2 = 3,0 \text{ м}^3$. Затем газ продолжили нагревать изохорно. При этом давление возросло до $p_3 = 500 \text{ кПа}$. Определите давление газа в начальном состоянии, если при переходе из начального состояния в конечное газ получил количество теплоты $Q = 2,35 \text{ МДж}$.

Дано:

Тип газа: идеальный одноатомный

Начальный объем: $V_1 = 1.0 \, м^3$

Объем после изобарного нагрева: $V_2 = 3.0 \, м^3$

Давление после изохорного нагрева: $p_3 = 500 \, кПа = 500 \cdot 10^3 \, Па = 5 \cdot 10^5 \, Па$

Общее количество теплоты: $Q = 2.35 \, МДж = 2.35 \cdot 10^6 \, Дж$

Найти:

Начальное давление газа $p_1$.

Решение:

Процесс, описанный в задаче, состоит из двух последовательных этапов:

1. Изобарное нагревание (процесс 1-2): давление газа постоянно и равно начальному $p_1$, то есть $p_2 = p_1$. Объем увеличивается от $V_1$ до $V_2$.

2. Изохорное нагревание (процесс 2-3): объем газа постоянен и равен $V_2$, то есть $V_3 = V_2$. Давление увеличивается от $p_2$ до $p_3$.

Общее количество теплоты $Q$, полученное газом при переходе из начального состояния 1 в конечное состояние 3, можно найти, применив первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A$

где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, а $A$ — работа, совершенная газом.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ зависит только от начального и конечного состояний:

$\Delta U = U_3 - U_1$

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяется по формуле $U = \frac{3}{2}pV$. Тогда:

$\Delta U = \frac{3}{2}p_3V_3 - \frac{3}{2}p_1V_1$

Поскольку $V_3 = V_2$, получаем:

$\Delta U = \frac{3}{2}(p_3V_2 - p_1V_1)$

Полная работа $A$, совершенная газом, равна сумме работ на каждом этапе: $A = A_{12} + A_{23}$.

На первом, изобарном, этапе работа газа равна:

$A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$

На втором, изохорном, этапе объем не меняется, поэтому работа газа равна нулю:

$A_{23} = 0$

Следовательно, полная работа газа составляет:

$A = p_1(V_2 - V_1)$

Теперь подставим выражения для $\Delta U$ и $A$ в первый закон термодинамики:

$Q = \frac{3}{2}(p_3V_2 - p_1V_1) + p_1(V_2 - V_1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с неизвестным давлением $p_1$:

$Q = \frac{3}{2}p_3V_2 - \frac{3}{2}p_1V_1 + p_1V_2 - p_1V_1$

$Q = \frac{3}{2}p_3V_2 + p_1(V_2 - \frac{5}{2}V_1)$

Выразим $p_1$:

$p_1(V_2 - \frac{5}{2}V_1) = Q - \frac{3}{2}p_3V_2$

$p_1 = \frac{Q - \frac{3}{2}p_3V_2}{V_2 - \frac{5}{2}V_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$p_1 = \frac{2.35 \cdot 10^6 - \frac{3}{2} \cdot (5 \cdot 10^5) \cdot 3.0}{3.0 - \frac{5}{2} \cdot 1.0} = \frac{2.35 \cdot 10^6 - 2.25 \cdot 10^6}{3.0 - 2.5} = \frac{0.1 \cdot 10^6}{0.5} = 0.2 \cdot 10^6 \, Па$

Таким образом, начальное давление газа составляет $2 \cdot 10^5 \, Па$, или $200 \, кПа$.

Ответ: $200 \, кПа$.