Номер 424, страница 87 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

424. *В двух теплоизолированных сосудах, соединенных тонкой трубкой с краном, находится гелий в количествах $\nu_1 = 2,0 \text{ моль}$ и $\nu_2 = 3,0 \text{ моль}$ при температурах $T_1 = 300 \text{ К}$ и $T_2 = 400 \text{ К}$ соответственно. Определите, какой станет абсолютная температура газа после открывания крана и установления теплового равновесия.

Дано:

$v_1 = 2,0$ моль

$v_2 = 3,0$ моль

$T_1 = 300$ К

$T_2 = 400$ К

Найти:

$T$

Решение:

Система, состоящая из двух теплоизолированных сосудов, не обменивается теплотой с окружающей средой, следовательно, подводимое к системе количество теплоты $Q=0$. Когда кран открывают, газы смешиваются. Общий объем системы, равный сумме объемов двух сосудов, остается неизменным, поэтому газ не совершает работы над внешними телами, $A=0$.

Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии системы равно: $\Delta U = Q - A$.

В данном случае $\Delta U = 0 - 0 = 0$. Это означает, что внутренняя энергия системы сохраняется.

Таким образом, суммарная внутренняя энергия гелия в двух сосудах до открытия крана равна внутренней энергии всего гелия после установления теплового равновесия:

$U_{начальная} = U_{конечная}$

Гелий — это одноатомный идеальный газ, его внутренняя энергия определяется по формуле:

$U = \frac{3}{2} v R T$,

где $v$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура.

Начальная внутренняя энергия системы — это сумма внутренних энергий газа в каждом сосуде:

$U_{начальная} = U_1 + U_2 = \frac{3}{2} v_1 R T_1 + \frac{3}{2} v_2 R T_2$

После открытия крана газ займет весь объем, общее количество вещества станет $v = v_1 + v_2$, и в системе установится единая конечная температура $T$. Конечная внутренняя энергия системы будет равна:

$U_{конечная} = \frac{3}{2} (v_1 + v_2) R T$

Приравниваем начальную и конечную энергии:

$\frac{3}{2} v_1 R T_1 + \frac{3}{2} v_2 R T_2 = \frac{3}{2} (v_1 + v_2) R T$

Сократив общий множитель $\frac{3}{2} R$, получим:

$v_1 T_1 + v_2 T_2 = (v_1 + v_2) T$

Отсюда выразим искомую конечную температуру $T$:

$T = \frac{v_1 T_1 + v_2 T_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения из условия:

$T = \frac{2,0 \cdot 300 + 3,0 \cdot 400}{2,0 + 3,0} \, \text{К} = \frac{600 + 1200}{5,0} \, \text{К} = \frac{1800}{5,0} \, \text{К} = 360 \, \text{К}$

Ответ: $360$ К.