Номер 430, страница 89 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

430. В теплоизолированном горизонтальном цилиндре (рис. 64) с одной стороны от закрепленного гладкого поршня находился идеальный одноатомный газ при абсолютной температуре $T_1$, с другой стороны был создан вакуум. Пружина сначала не была деформированной. Поршень освободили. После установления равновесия объем газа увеличился вдвое. Определите абсолютную температуру газа в конечном состоянии. Теплоемкостью цилиндра, поршня и пружины пренебречь.

Рис. 64

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Начальная абсолютная температура: $T_1$

Начальный объем: $V_1$

Конечный объем: $V_2 = 2V_1$

Процесс адиабатический: $Q=0$

Начальная деформация пружины равна нулю.

Найти:

Конечную абсолютную температуру газа $T_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из газа и пружины. Так как цилиндр теплоизолирован, теплообмен с окружающей средой отсутствует ($Q=0$). Внешние силы работу не совершают, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. Это следует из первого начала термодинамики, примененного к системе в целом.

Начальная энергия системы $E_1$ состоит только из внутренней энергии идеального одноатомного газа, поскольку пружина не деформирована и ее потенциальная энергия равна нулю.

$E_1 = U_1 = \frac{3}{2}\nu RT_1$

где $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Конечная энергия системы $E_2$ складывается из конечной внутренней энергии газа $U_2$ и потенциальной энергии сжатой пружины $E_п$.

$E_2 = U_2 + E_п = \frac{3}{2}\nu RT_2 + \frac{kx_2^2}{2}$

где $T_2$ — искомая конечная температура, $k$ — жесткость пружины, а $x_2$ — ее деформация (сжатие) в конечном состоянии.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{3}{2}\nu RT_1 = \frac{3}{2}\nu RT_2 + \frac{kx_2^2}{2}$

В конечном состоянии равновесия сила давления газа на поршень $F_{газа}$ уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр}$:

$F_{газа} = F_{упр} \implies P_2 S = kx_2$

где $P_2$ — конечное давление газа, а $S$ — площадь поршня.

При расширении газа от объема $V_1$ до $V_2 = 2V_1$ поршень смещается на расстояние $x_2$. Изменение объема равно:

$\Delta V = V_2 - V_1 = 2V_1 - V_1 = V_1$

Это изменение объема также равно $\Delta V = S x_2$. Следовательно, $V_1 = S x_2$.

Выразим потенциальную энергию пружины через термодинамические параметры газа. Из условия равновесия $k = \frac{P_2 S}{x_2}$. Подставим это в выражение для $E_п$:

$E_п = \frac{kx_2^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{P_2 S}{x_2} \right) x_2^2 = \frac{1}{2} P_2 S x_2$

Учитывая, что $S x_2 = V_1$, получаем:

$E_п = \frac{1}{2} P_2 V_1$

Теперь подставим это выражение для $E_п$ в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{3}{2}\nu RT_1 = \frac{3}{2}\nu RT_2 + \frac{1}{2} P_2 V_1$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для конечного состояния:

$P_2 V_2 = \nu R T_2$

Поскольку $V_2 = 2V_1$, то $P_2 (2V_1) = \nu R T_2$. Отсюда выразим произведение $P_2 V_1$:

$P_2 V_1 = \frac{\nu R T_2}{2}$

Подставим полученное выражение в уравнение сохранения энергии:

$\frac{3}{2}\nu RT_1 = \frac{3}{2}\nu RT_2 + \frac{1}{2} \left( \frac{\nu R T_2}{2} \right)$

$\frac{3}{2}\nu RT_1 = \frac{3}{2}\nu RT_2 + \frac{1}{4}\nu R T_2$

Сократим обе части уравнения на $\nu R$:

$\frac{3}{2} T_1 = \frac{3}{2} T_2 + \frac{1}{4} T_2$

$\frac{3}{2} T_1 = \left( \frac{6}{4} + \frac{1}{4} \right) T_2$

$\frac{3}{2} T_1 = \frac{7}{4} T_2$

Наконец, выразим искомую конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{14} T_1 = \frac{6}{7} T_1$

Ответ: $T_2 = \frac{6}{7}T_1$.