Номер 433, страница 90 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

433. Циклический процесс, который совершает идеальный одноатомный газ, состоит из двух изохор и двух изобар (рис. 67). Определите количество теплоты, полученное газом за один цикл, если в состоянии 1 давление и объем газа равны $p_0$ и $V_0$ соответственно.

Рис. 67

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4-1 для идеального одноатомного газа.

Параметры состояний (из графика):

Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 3p_0$, $V_2 = V_0$

Состояние 3: $p_3 = 3p_0$, $V_3 = 3V_0$

Состояние 4: $p_4 = p_0$, $V_4 = 3V_0$

Найти:

$Q_{полученное}$ - количество теплоты, полученное газом за один цикл.

Решение:

Количество теплоты, полученное газом за цикл, представляет собой сумму теплоты, подведенной к газу на тех участках цикла, где его температура увеличивается. Температура идеального газа увеличивается, когда растет произведение давления на объем ($pV$). В данном цикле это происходит на участках 1-2 и 2-3.

Рассчитаем количество теплоты для каждого участка по первому закону термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии, а $A$ - работа газа.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV) = \frac{3}{2}(p_k V_k - p_н V_н)$, где "н" и "к" - начальное и конечное состояния.

1. Участок 1-2 (изохорное нагревание)

Процесс изохорный, так как объем не меняется ($V = V_0 = const$). Следовательно, работа газа на этом участке равна нулю: $A_{12} = 0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot V_0 - p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(2p_0V_0) = 3p_0V_0$.

Количество теплоты:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 3p_0V_0 + 0 = 3p_0V_0$.

Так как $Q_{12} > 0$, газ получает теплоту.

2. Участок 2-3 (изобарное расширение)

Процесс изобарный, так как давление не меняется ($p = 3p_0 = const$). Работа газа при изобарном расширении:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 3p_0(3V_0 - V_0) = 3p_0 \cdot 2V_0 = 6p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 3V_0 - 3p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(9p_0V_0 - 3p_0V_0) = \frac{3}{2}(6p_0V_0) = 9p_0V_0$.

Количество теплоты:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 9p_0V_0 + 6p_0V_0 = 15p_0V_0$.

Так как $Q_{23} > 0$, газ получает теплоту.

3. Участок 3-4 (изохорное охлаждение)

Процесс изохорный ($V = 3V_0 = const$), поэтому работа газа $A_{34} = 0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{34} = \frac{3}{2}(p_4V_4 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 3V_0 - 3p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0 - 9p_0V_0) = -9p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{34} = \Delta U_{34} = -9p_0V_0$. Так как $Q_{34} < 0$, газ отдает теплоту.

4. Участок 4-1 (изобарное сжатие)

Процесс изобарный ($p = p_0 = const$). Работа газа:

$A_{41} = p_4(V_1 - V_4) = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{41} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_4V_4) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot V_0 - p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(-2p_0V_0) = -3p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41} = -3p_0V_0 + (-2p_0V_0) = -5p_0V_0$. Так как $Q_{41} < 0$, газ отдает теплоту.

Общее количество теплоты, полученное газом за цикл, равно сумме положительных количеств теплоты:

$Q_{полученное} = Q_{12} + Q_{23} = 3p_0V_0 + 15p_0V_0 = 18p_0V_0$.

Ответ: $18p_0V_0$.