Номер 437, страница 91 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

437. Цикл, проведенный с идеальным газом, количество вещества которого $v = 3,0$ моль, состоит из двух изохор и двух изобар (рис. 71). Отношение давлений при изохорных

Рис. 71

процессах $\frac{p_2}{p_1} = \frac{5}{4}$. Отношение объемов газа при изобарных процессах $\frac{V_4}{V_1} = \frac{6}{5}$. Определите работу сил давления газа, совершенную за один цикл. Разность между максимальной и минимальной температурой газа в цикле $\Delta T = 100$ К.

Дано:

$v = 3,0$ моль

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{5}{4}$

$\frac{V_4}{V_1} = \frac{6}{5}$

$\Delta T = T_{max} - T_{min} = 100$ К

$R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Все величины даны в системе СИ или являются безразмерными, перевод не требуется.

Найти:

$A_{цикл}$

Решение:

Работа, совершаемая газом за один цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме p-V. В данном случае цикл представляет собой прямоугольник, поэтому работа за цикл $A_{цикл}$ вычисляется по формуле:

$A_{цикл} = (p_2 - p_1)(V_4 - V_1)$

Для определения $p_1, p_2, V_1, V_4$ воспользуемся уравнением состояния идеального газа $pV = vRT$ и данными задачи. Температура газа в каждом из четырех состояний определяется как:

$T_1 = \frac{p_1V_1}{vR}$

$T_2 = \frac{p_2V_1}{vR}$

$T_3 = \frac{p_2V_4}{vR}$

$T_4 = \frac{p_1V_4}{vR}$

Температура газа пропорциональна произведению $pV$. Чтобы найти максимальную и минимальную температуру в цикле, сравним эти произведения для каждого состояния, используя заданные отношения $\frac{p_2}{p_1} = \frac{5}{4}$ и $\frac{V_4}{V_1} = \frac{6}{5}$:

$p_1V_1$

$p_2V_1 = \frac{5}{4}p_1V_1 = 1,25 p_1V_1$

$p_2V_4 = (\frac{5}{4}p_1)(\frac{6}{5}V_1) = \frac{6}{4}p_1V_1 = 1,5 p_1V_1$

$p_1V_4 = p_1(\frac{6}{5}V_1) = 1,2 p_1V_1$

Сравнивая полученные значения, видим, что $p_1V_1 < p_1V_4 < p_2V_1 < p_2V_4$. Следовательно, порядок температур таков: $T_1 < T_4 < T_2 < T_3$.

Таким образом, минимальная температура в цикле - это $T_{min} = T_1$, а максимальная - $T_{max} = T_3$.

По условию задачи, разность между максимальной и минимальной температурой $\Delta T = 100$ К:

$\Delta T = T_{max} - T_{min} = T_3 - T_1$

Выразим $T_3$ через $T_1$:

$T_3 = \frac{p_2V_4}{vR} = \frac{1,5 p_1V_1}{vR} = 1,5 \cdot (\frac{p_1V_1}{vR}) = 1,5 T_1$

Подставим это выражение в формулу для $\Delta T$:

$\Delta T = 1,5 T_1 - T_1 = 0,5 T_1$

Отсюда находим температуру в состоянии 1:

$T_1 = \frac{\Delta T}{0,5} = 2 \Delta T$

Теперь вернемся к формуле для работы. Выразим ее через $p_1$ и $V_1$:

$A_{цикл} = (\frac{5}{4}p_1 - p_1)(\frac{6}{5}V_1 - V_1) = (\frac{1}{4}p_1)(\frac{1}{5}V_1) = \frac{1}{20}p_1V_1$

Из уравнения состояния для точки 1 имеем $p_1V_1 = vRT_1$. Подставим это в формулу для работы:

$A_{цикл} = \frac{1}{20}vRT_1$

Наконец, подставим найденное выражение для $T_1 = 2 \Delta T$:

$A_{цикл} = \frac{1}{20}vR(2 \Delta T) = \frac{vR \Delta T}{10}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$A_{цикл} = \frac{3,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К}}{10} = 3,0 \cdot 8,31 \cdot 10 = 249,3$ Дж

Ответ: работа сил давления газа, совершенная за один цикл, равна $249,3$ Дж.