Номер 432, страница 90 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

432. Состояние идеального газа изменялось по замкнутому циклу, график которого представлен на рисунке 66. На каких участках графика газ отдавал энергию?

$p$, $T$, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Рис. 66

Решение

Для определения участков, на которых газ отдавал энергию, воспользуемся первым законом термодинамики, согласно которому количество теплоты $Q$, полученное газом, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

Газ отдает энергию (теплоту) в тех процессах, где $Q < 0$.

Изменение внутренней энергии идеального газа $\Delta U$ зависит только от изменения его температуры $\Delta T$. Если температура растет ($\Delta T > 0$), то $\Delta U > 0$. Если температура падает ($\Delta T < 0$), то $\Delta U < 0$.

Работа газа $A$ положительна, когда газ расширяется (объем $V$ увеличивается), и отрицательна, когда газ сжимается ($V$ уменьшается). Если объем не меняется, работа равна нулю.

Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu R T$ следует, что объем $V = \frac{\nu R T}{p}$. Проанализируем каждый участок цикла.

Участок 1-2

На этом участке температура $T$ растет, следовательно, внутренняя энергия увеличивается, $\Delta U > 0$. График представляет собой прямую, проходящую через начало координат, что соответствует процессу с постоянным отношением $p/T$. Из уравнения состояния следует, что $V = \frac{\nu R}{p/T} = const$. Это изохорный процесс, поэтому работа газа $A = 0$. Тогда количество теплоты $Q = \Delta U + 0 > 0$. Газ получает энергию.

Участок 2-3

На этом участке температура $T$ растет, значит $\Delta U > 0$. Давление $p$ постоянно (изобарный процесс). Из уравнения состояния $V \propto T$, поэтому объем газа увеличивается, и газ совершает положительную работу, $A > 0$. Количество теплоты $Q = \Delta U + A > 0$. Газ получает энергию.

Участок 3-4

На этом участке температура $T$ уменьшается, следовательно, внутренняя энергия уменьшается, $\Delta U < 0$. График является прямой, проходящей через начало координат, значит, это изохорный процесс ($V = const$). Работа газа $A = 0$. Количество теплоты $Q = \Delta U + 0 < 0$. Газ отдает энергию.

Участок 4-5

На этом участке температура $T$ уменьшается, значит $\Delta U < 0$. Для определения изменения объема сравним отношение $T/p$ в точках 4 и 5. Отношение $p/T$ соответствует тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в точку на графике. Видно, что $(p/T)_4 > (p/T)_5$, следовательно, $(T/p)_4 < (T/p)_5$. Так как $V \propto T/p$, то $V_4 < V_5$. Объем газа увеличивается, и он совершает положительную работу, $A > 0$. Знак $Q = \Delta U + A$ не очевиден, так как одно слагаемое отрицательное, а другое положительное. Проведем более детальный анализ. Теплообмен в процессе можно описать формулой $dQ = C_p dT - V dp$. Для линейного процесса $p = kT+b$ имеем $dp=kdT$, тогда $dQ = (C_p - kV)dT$. Газ отдает тепло ($dQ < 0$), если $dT < 0$ (что верно) и $C_p - kV > 0$. Последнее неравенство эквивалентно $k < C_p/V = \frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{T}$, где $\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{T}$ — тангенс угла наклона адиабаты в данной точке. Из графика видно, что наклон прямой 4-5 ($k$) меньше, чем наклон адиабаты в любой точке этого отрезка. Следовательно, на всем участке 4-5 $dQ < 0$. Газ отдает энергию.

Участок 5-1

На этом участке температура $T$ уменьшается, значит $\Delta U < 0$. Давление $p$ постоянно (изобарный процесс). Так как $V \propto T$, объем газа уменьшается. Газ сжимается, и его работа отрицательна, $A < 0$. Количество теплоты $Q = \Delta U + A$. Оба слагаемых отрицательны, поэтому $Q < 0$. Газ отдает энергию.

Таким образом, газ отдавал энергию на участках 3-4, 4-5 и 5-1.

Ответ: Газ отдавал энергию на участках 3-4, 4-5 и 5-1.