Номер 438, страница 92 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

438. На рисунке 72 показан цикл, который совершает находящийся в цилиндре идеальный газ в количестве $v=1,5 \text{ моль}$. Температура газа $T_1=300 \text{ К}$, $T_4=600 \text{ К}$. Определите полезную работу, совершенную силами давления газа за цикл, если на участке 2—3 газу было передано количество теплоты $Q_{23}=6,84 \text{ кДж}$.

Рис. 72

Дано:

$ν = 1,5$ моль

$T_1 = 300$ К

$T_4 = 600$ К

$Q_{23} = 6,84$ кДж

$Q_{23} = 6,84 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

$A_{цикл}$ - ?

Решение:

Полезная работа, совершаемая газом за цикл, равна работе за весь цикл $A_{цикл}$. Работа за цикл равна сумме работ на отдельных его участках.

Проанализируем график цикла в координатах V-T. Из графика и условия задачи можно определить параметры газа в узловых точках 1, 2, 3, 4.

Из графика видно, что:

• $V_2 = V_1$, $V_3 = V_4$. Отношение объемов по клеткам: $V_4 / V_1 = 2 / 1 = 2$.
• $T_3 = T_2$. Отношение температур по клеткам: $T_4 / T_1 = 2 / 1$ и $T_2 / T_1 = 3 / 1$.

Используя данные из условия $T_1 = 300$ К и $T_4 = 600$ К, подтверждаем соотношение $T_4 = 2T_1$. Тогда температура $T_2$ равна: $T_2 = 3T_1 = 3 \cdot 300 \text{ К} = 900 \text{ К}$.

В условии сказано, что на участке 2-3 газу передано количество теплоты $Q_{23} > 0$. Теплота подводится к газу при расширении. На диаграмме процесс 2-3 (переход из состояния 2 в состояние 3) представляет собой изотермическое расширение. Однако стрелки на диаграмме указывают на обратное направление цикла (1-4-3-2-1), где процесс 3-2 является изотермическим сжатием, при котором тепло отводится от газа. Вероятно, стрелки на рисунке указаны неверно, и цикл протекает в направлении 1-2-3-4-1. Будем исходить из этого предположения.

Рассмотрим каждый участок цикла 1-2-3-4-1:

1. Участок 1-2: Изохорный нагрев ($V_1 = \text{const}$). Объем не меняется, поэтому работа газа на этом участке равна нулю: $A_{12} = 0$.

2. Участок 2-3: Изотермическое расширение ($T_2 = \text{const}$). Согласно первому началу термодинамики, $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}$. Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при изотермическом процессе $\Delta U_{23} = 0$. Следовательно, работа, совершаемая газом, равна полученной теплоте:

$A_{23} = Q_{23} = 6,84 \text{ кДж} = 6840 \text{ Дж}$.

3. Участок 3-4: Изохорное охлаждение ($V_4 = \text{const}$). Объем не меняется, работа газа равна нулю: $A_{34} = 0$.

4. Участок 4-1: Процесс, при котором зависимость V от T линейна и проходит через начало координат ($V/T = \text{const}$). Это изобарное сжатие ($p_1 = \text{const}$), так как объем уменьшается. Работа газа на этом участке: $A_{41} = p_1(V_1 - V_4)$. Используя уравнение состояния идеального газа ($pV = \nu RT$), можем записать: $A_{41} = \nu R T_1 - \nu R T_4 = \nu R(T_1 - T_4)$.

Полезная работа за цикл равна сумме работ на всех участках:

$A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = 0 + A_{23} + 0 + A_{41} = A_{23} + \nu R(T_1 - T_4)$.

Чтобы найти $A_{цикл}$, нам нужно связать $A_{41}$ с известной величиной $A_{23}$.

Работа при изотермическом расширении 2-3 также выражается формулой:

$A_{23} = \nu R T_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) = \nu R T_2 \ln\left(\frac{V_4}{V_1}\right)$.

Зная, что $T_2=3T_1$ и $V_4=2V_1$, получаем:

$A_{23} = \nu R (3T_1) \ln(2) = 3\nu R T_1 \ln(2)$.

Работа на участке 4-1:

$A_{41} = \nu R (T_1 - T_4) = \nu R (T_1 - 2T_1) = -\nu R T_1$.

Теперь выразим $\nu R T_1$ из формулы для $A_{23}$:

$\nu R T_1 = \frac{A_{23}}{3 \ln(2)}$.

Подставим это выражение в формулу для $A_{41}$:

$A_{41} = - \frac{A_{23}}{3 \ln(2)}$.

Тогда полная работа за цикл равна:

$A_{цикл} = A_{23} + A_{41} = A_{23} - \frac{A_{23}}{3 \ln(2)} = A_{23} \left(1 - \frac{1}{3 \ln(2)}\right)$.

Подставим числовые значения:

$A_{цикл} = 6840 \text{ Дж} \cdot \left(1 - \frac{1}{3 \cdot \ln(2)}\right) \approx 6840 \cdot \left(1 - \frac{1}{3 \cdot 0,693}\right) \approx 6840 \cdot \left(1 - \frac{1}{2,079}\right) \approx 6840 \cdot (1 - 0,481) = 6840 \cdot 0,519 \approx 3550 \text{ Дж}$.

Переведем в килоджоули: $A_{цикл} \approx 3,55$ кДж.

Ответ:

Полезная работа, совершённая силами давления газа за цикл, составляет приблизительно $3,55$ кДж.