Номер 425, страница 88 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

425. В двух теплоизолированных сосудах объемами $V_1 = 2,0$ л и $V_2 = 5,0$ л, соединенных тонкой трубкой с краном, находится гелий при разных температурах под давлением $p_1 = 300$ кПа и $p_2 = 160$ кПа соответственно. Определите, какое давление установится в сосудах после открытия крана и наступления теплового равновесия.

Дано:

$V_1 = 2,0$ л
$V_2 = 5,0$ л
$p_1 = 300$ кПа
$p_2 = 160$ кПа

$V_1 = 2,0 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$V_2 = 5,0 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$p_1 = 300 \cdot 10^3$ Па
$p_2 = 160 \cdot 10^3$ Па

Найти:

$p$

Решение:

Система, состоящая из двух сосудов с гелием, является теплоизолированной. Это означает, что она не обменивается теплотой с окружающей средой ($Q=0$). При открытии крана газ смешивается. Так как газ расширяется внутри самой системы, а не против внешних сил, работа газом не совершается ($A=0$).

Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ равно сумме количества теплоты $Q$, переданного системе, и работы $A$, совершенной над системой: $\Delta U = Q + A$. В данном случае $\Delta U = 0$, что означает, что внутренняя энергия всей системы сохраняется.

Начальная внутренняя энергия системы $U_{нач}$ равна сумме внутренних энергий газа в каждом из двух сосудов:

$U_{нач} = U_1 + U_2$

Гелий является одноатомным газом, поэтому его внутренняя энергия выражается формулой $U = \frac{3}{2}\nu RT$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, можно записать внутреннюю энергию через давление и объем: $U = \frac{3}{2}pV$.

Таким образом, начальная внутренняя энергия системы равна:

$U_{нач} = \frac{3}{2}p_1V_1 + \frac{3}{2}p_2V_2$

После открытия крана и установления теплового равновесия газ займет общий объем $V = V_1 + V_2$, и в системе установится некоторое равновесное давление $p$. Конечная внутренняя энергия системы $U_{кон}$ будет равна:

$U_{кон} = \frac{3}{2}pV = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$

Из закона сохранения энергии следует, что $U_{нач} = U_{кон}$:

$\frac{3}{2}p_1V_1 + \frac{3}{2}p_2V_2 = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)$

Сократив общий множитель $\frac{3}{2}$, получим:

$p_1V_1 + p_2V_2 = p(V_1 + V_2)$

Из этого соотношения выразим искомое установившееся давление $p$:

$p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$

Подставим числовые значения. Можно проводить вычисления, используя исходные единицы (литры и килопаскали), так как единицы объема в числителе и знаменателе сократятся, и результат получится в килопаскалях.

$p = \frac{300 \text{ кПа} \cdot 2,0 \text{ л} + 160 \text{ кПа} \cdot 5,0 \text{ л}}{2,0 \text{ л} + 5,0 \text{ л}} = \frac{600 + 800}{7,0} \text{ кПа} = \frac{1400}{7,0} \text{ кПа} = 200 \text{ кПа}$

Ответ: установившееся давление в сосудах равно 200 кПа.