Номер 421, страница 86 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

421. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого $\nu = 2,0$ моль, перевели из состояния 1 в состояние 4 (рис. 61). Какое количество теплоты сообщили газу, если при изотермическом расширении силы давления газа совершили работу $A_{23} = 9,28$ кДж? В состоянии 1 температура газа была $t_0 = 27^\circ \text{C}$. Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$. Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость теплового движения молекул?

Рис. 61

Какое количество теплоты сообщили газу, если при изотермическом расширении силы давления газа совершили работу A₂₃ = 9,28 кДж?

Дано:

Газ - идеальный одноатомный
Количество вещества, $\nu = 2,0$ моль
Работа газа в процессе 2-3, $A_{23} = 9,28$ кДж
Температура в состоянии 1, $t_1 = 27^\circ$C
Универсальная газовая постоянная, $R = 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К}$
Параметры состояний из графика p-T:
Состояние 1: $p_1 = 2p_0, T_1 = T_0$
Состояние 2: $p_2 = 2p_0, T_2 = 3T_0$
Состояние 3: $p_3 = p_0, T_3 = 3T_0$
Состояние 4: $p_4 = 3p_0, T_4 = 9T_0$

Перевод в систему СИ:

$A_{23} = 9,28 \cdot 10^3$ Дж
$T_1 = T_0 = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Общее количество теплоты, сообщенное газу, $Q_{total}$.

Решение:

Общее количество теплоты, сообщенное газу, равно сумме теплот на каждом участке процесса: $Q_{total} = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34}$.

Рассчитаем количество теплоты для каждого процесса, используя первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии, $A$ - работа, совершённая газом.

1. Процесс 1-2 (изобарное нагревание).

Давление постоянно: $p=const$. Температура изменяется от $T_1 = T_0$ до $T_2 = 3T_0$.
Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R (3T_0 - T_0) = 3\nu R T_0$.
Работа газа при изобарном процессе: $A_{12} = p_1 \Delta V = \nu R (T_2 - T_1) = \nu R (3T_0 - T_0) = 2\nu R T_0$.
Количество теплоты на этом участке: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 3\nu R T_0 + 2\nu R T_0 = 5\nu R T_0$.
Подставим числовые значения:
$Q_{12} = 5 \cdot 2,0 \text{ моль} \cdot 8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 24900 \text{ Дж} = 24,9 \text{ кДж}$.

2. Процесс 2-3 (изотермическое расширение).

Температура постоянна: $T = T_2 = T_3 = 3T_0 = const$.
При изотермическом процессе изменение внутренней энергии идеального газа равно нулю: $\Delta U_{23} = 0$.
Тогда количество теплоты равно работе, совершенной газом: $Q_{23} = A_{23}$.
По условию задачи, $A_{23} = 9,28 \text{ кДж} = 9280 \text{ Дж}$.
Следовательно, $Q_{23} = 9280 \text{ Дж}$.

3. Процесс 3-4 (изохорное нагревание).

На графике p-T этот процесс представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Это означает, что $p/T = const$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ следует, что $p/T = \nu R/V$. Так как $\nu$ и $R$ постоянны, для сохранения отношения $p/T$ объем $V$ также должен быть постоянным ($V=const$). Это изохорный процесс.
При изохорном процессе работа газа равна нулю: $A_{34} = 0$.
Температура изменяется от $T_3 = 3T_0$ до $T_4 = 9T_0$.
Количество теплоты равно изменению внутренней энергии: $Q_{34} = \Delta U_{34} = \frac{3}{2}\nu R (T_4 - T_3) = \frac{3}{2}\nu R (9T_0 - 3T_0) = \frac{3}{2}\nu R (6T_0) = 9\nu R T_0$.
Подставим числовые значения:
$Q_{34} = 9 \cdot 2,0 \text{ моль} \cdot 8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 44820 \text{ Дж} = 44,82 \text{ кДж}$.

4. Общее количество теплоты.

Суммируем теплоту, полученную газом на всех участках:
$Q_{total} = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} = 24900 \text{ Дж} + 9280 \text{ Дж} + 44820 \text{ Дж} = 79000 \text{ Дж}$.
$Q_{total} = 79 \text{ кДж}$.

Ответ: газу сообщили количество теплоты, равное 79 кДж.

Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость теплового движения молекул?

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул газа ($v_{ск}$) связана с абсолютной температурой ($T$) соотношением: $v_{ск} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, а $M$ - молярная масса газа. Из этой формулы видно, что средняя квадратичная скорость пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры: $v_{ск} \propto \sqrt{T}$.
Чтобы найти, во сколько раз изменилась скорость при переходе из состояния 1 в состояние 4, нужно найти отношение скоростей $v_{ск,4} / v_{ск,1}$.
$\frac{v_{ск,4}}{v_{ск,1}} = \frac{\sqrt{T_4}}{\sqrt{T_1}} = \sqrt{\frac{T_4}{T_1}}$.
Из графика находим температуры в начальном и конечном состояниях:$T_1 = T_0$
$T_4 = 9T_0$
Подставляем эти значения в отношение:
$\frac{v_{ск,4}}{v_{ск,1}} = \sqrt{\frac{9T_0}{T_0}} = \sqrt{9} = 3$.
Таким образом, средняя квадратичная скорость молекул увеличилась в 3 раза.

Ответ: средняя квадратичная скорость теплового движения молекул увеличилась в 3 раза.