Номер 426, страница 88 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

426. Идеальный газ, содержащийся в сосуде, дважды переводили из состояния 1 с давлением $p_1 = 200$ кПа и объемом $V_1 = 1,0 \text{ м}^3$ в состояние 2 с давлением $p_2 = 400$ кПа и объемом $V_2 = 3,0 \text{ м}^3$. Один раз перевод осуществлялся сначала по изобарному закону, затем — по изохорному. Второй раз наоборот: сначала — по изохорному закону, а затем — по изобарному. Определите разницу количеств теплоты, сообщенных газу.

Дано:

$p_1 = 200 \text{ кПа} = 200 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$V_1 = 1.0 \text{ м}^3$

$p_2 = 400 \text{ кПа} = 400 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$V_2 = 3.0 \text{ м}^3$

Найти:

$\Delta Q$ — разницу количеств теплоты.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, равно сумме изменения его внутренней энергии $\Delta U$ и работы $A$, совершенной газом:

$Q = \Delta U + A$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального газа является функцией состояния, то есть зависит только от начальных и конечных параметров газа, но не от пути перехода между состояниями. Поскольку в обоих случаях газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состояние 2, изменение внутренней энергии $\Delta U$ для обоих процессов одинаково.

Обозначим количество теплоты и работу в первом процессе (изобарный, затем изохорный) как $Q_1$ и $A_1$, а во втором процессе (изохорный, затем изобарный) — как $Q_2$ и $A_2$.

$Q_1 = \Delta U + A_1$

$Q_2 = \Delta U + A_2$

Тогда разница количеств теплоты равна разнице совершенных работ:

$\Delta Q = Q_2 - Q_1 = (\Delta U + A_2) - (\Delta U + A_1) = A_2 - A_1$

Рассчитаем работу для каждого процесса.

1. Первый процесс: сначала изобарный ($p_1 = \text{const}$), затем изохорный ($V_2 = \text{const}$).

Работа совершается только на первом, изобарном, участке, где газ расширяется от объема $V_1$ до $V_2$ при давлении $p_1$. На втором, изохорном, участке работа равна нулю.

$A_1 = p_1(V_2 - V_1)$

2. Второй процесс: сначала изохорный ($V_1 = \text{const}$), затем изобарный ($p_2 = \text{const}$).

Работа совершается только на втором, изобарном, участке, где газ расширяется от объема $V_1$ до $V_2$ при давлении $p_2$. На первом, изохорном, участке работа равна нулю.

$A_2 = p_2(V_2 - V_1)$

Теперь найдем разницу количеств теплоты:

$\Delta Q = A_2 - A_1 = p_2(V_2 - V_1) - p_1(V_2 - V_1) = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)$

Подставим числовые значения:

$\Delta Q = (400 \cdot 10^3 \text{ Па} - 200 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (3.0 \text{ м}^3 - 1.0 \text{ м}^3)$

$\Delta Q = (200 \cdot 10^3 \text{ Па}) \cdot (2.0 \text{ м}^3) = 400 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 400 \text{ кДж}$

Разница количеств теплоты, сообщенных газу, равна площади на $p-V$ диаграмме, ограниченной траекториями этих двух процессов.

Ответ: 400 кДж.