Номер 420, страница 86 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

420. В сосуде содержится идеальный одноатомный газ, количество вещества которого $v$, при абсолютной температуре $T_1$. При изохорном нагревании средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа увеличилась в $n$ раз. Определите количество теплоты, подведенное к газу.

Дано:

Количество вещества: $\nu$

Начальная абсолютная температура: $T_1$

Тип газа: идеальный одноатомный

Процесс: изохорное нагревание ($V = const$)

Начальная среднеквадратичная скорость: $v_1$

Конечная среднеквадратичная скорость: $v_2 = n \cdot v_1$

Найти:

Количество теплоты, подведенное к газу: $Q$

Решение:

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул идеального газа связана с абсолютной температурой соотношением:

$E_k = \frac{1}{2}m_0 v_{кв}^2 = \frac{3}{2}kT$

где $m_0$ – масса одной молекулы, $v_{кв}$ – средняя квадратичная скорость молекул, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура.

Из этой формулы следует, что средняя квадратичная скорость пропорциональна корню из абсолютной температуры: $v_{кв} \sim \sqrt{T}$, или $T \sim v_{кв}^2$.

Пусть начальная температура газа $T_1$, а конечная – $T_2$. Соответствующие им среднеквадратичные скорости – $v_1$ и $v_2$. Тогда мы можем записать отношение температур:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

По условию задачи, $v_2 = n \cdot v_1$. Подставим это в отношение:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n \cdot v_1}{v_1}\right)^2 = n^2$

Отсюда находим конечную температуру газа:

$T_2 = n^2 T_1$

Количество теплоты $Q$, подведенное к газу, согласно первому началу термодинамики, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta U$ и работы $A$, совершенной газом:

$Q = \Delta U + A$

Поскольку процесс нагревания изохорный ($V = const$), работа, совершаемая газом, равна нулю ($A = P\Delta V = 0$).

Следовательно, все подведенное тепло идет на изменение внутренней энергии газа:

$Q = \Delta U$

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:

$U = \frac{3}{2}\nu RT$

где $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Изменение внутренней энергии равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}\nu RT_2 - \frac{3}{2}\nu RT_1 = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)$

Подставим выражение для конечной температуры $T_2 = n^2 T_1$:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(n^2 T_1 - T_1) = \frac{3}{2}\nu RT_1(n^2 - 1)$

Таким образом, количество теплоты, подведенное к газу, равно:

$Q = \frac{3}{2}\nu RT_1(n^2 - 1)$

Ответ: $Q = \frac{3}{2}\nu RT_1(n^2 - 1)$