Номер 422, страница 87 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

422. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого $v = 2,0 \text{ моль}$, перевели из состояния 1 в состояние 4 (рис. 62). Какое количество теплоты сообщили газу, если при изотермическом расширении силы давления газа совершили работу $A_{34} = 2,79 \text{ кДж}$? Температура газа в первом состоянии $T_1 = 300 \text{ К}$. Универсальная газовая постоянная $R=8,3 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$.

Рис. 62

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$ \nu = 2,0 $ моль

$ A_{34} = 2,79 $ кДж

$ T_1 = 300 $ K

$ R = 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К} $

Параметры состояний из графика:

Состояние 1: $(p_1, V_1)$

Состояние 2: $(p_1, 2V_1)$

Состояние 3: $(2p_1, 4V_1)$

Состояние 4: $(p_4, 8V_1)$

$ A_{34} = 2,79 \text{ кДж} = 2790 \text{ Дж} $

Найти:

$ Q_{1-4} $

Решение:

Общее количество теплоты, сообщенное газу, равно сумме количеств теплоты на каждом из трех участков процесса:

$ Q_{1-4} = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} $

Для каждого участка будем использовать первый закон термодинамики: $ Q = \Delta U + A $, где $ \Delta U $ — изменение внутренней энергии, а $ A $ — работа, совершенная газом. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как $ \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T $.

Сначала найдем температуры газа в состояниях 2 и 3, используя уравнение состояния идеального газа $ pV = \nu RT $. Температура в состоянии 1 дана: $ T_1 = 300 $ К.

Для состояния 2 ($ p_2 = p_1, V_2 = 2V_1 $):

$ T_2 = \frac{p_2 V_2}{\nu R} = \frac{p_1 (2V_1)}{\nu R} = 2 \frac{p_1 V_1}{\nu R} = 2T_1 = 2 \cdot 300 \text{ К} = 600 \text{ К} $

Для состояния 3 ($ p_3 = 2p_1, V_3 = 4V_1 $):

$ T_3 = \frac{p_3 V_3}{\nu R} = \frac{(2p_1) (4V_1)}{\nu R} = 8 \frac{p_1 V_1}{\nu R} = 8T_1 = 8 \cdot 300 \text{ К} = 2400 \text{ К} $

Процесс 3-4 является изотермическим, значит $ T_4 = T_3 = 2400 $ К.

Теперь рассчитаем количество теплоты для каждого участка.

Участок 1-2 (изобарное расширение, $ p = const $):

Изменение внутренней энергии:

$ \Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1) = \frac{3}{2} \cdot 2,0 \cdot 8,3 \cdot (600 - 300) = 7470 \text{ Дж} $.

Работа газа:

$ A_{12} = p_1 \Delta V = p_1(V_2 - V_1) = p_1(2V_1 - V_1) = p_1V_1 = \nu R T_1 = 2,0 \cdot 8,3 \cdot 300 = 4980 \text{ Дж} $.

Количество теплоты:

$ Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 7470 \text{ Дж} + 4980 \text{ Дж} = 12450 \text{ Дж} $.

Участок 2-3:

Изменение внутренней энергии:

$ \Delta U_{23} = \frac{3}{2}\nu R (T_3 - T_2) = \frac{3}{2} \cdot 2,0 \cdot 8,3 \cdot (2400 - 600) = 44820 \text{ Дж} $.

Работа газа $ A_{23} $ равна площади под графиком на этом участке (площадь трапеции):

$ A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2} (V_3 - V_2) = \frac{p_1 + 2p_1}{2} (4V_1 - 2V_1) = \frac{3p_1}{2} \cdot 2V_1 = 3p_1V_1 = 3(\nu R T_1) = 3 \cdot 4980 \text{ Дж} = 14940 \text{ Дж} $.

Количество теплоты:

$ Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 44820 \text{ Дж} + 14940 \text{ Дж} = 59760 \text{ Дж} $.

Участок 3-4 (изотермическое расширение, $ T = const $):

Так как процесс изотермический, изменение внутренней энергии равно нулю:

$ \Delta U_{34} = 0 $.

Работа газа дана по условию: $ A_{34} = 2790 \text{ Дж} $.

Количество теплоты:

$ Q_{34} = \Delta U_{34} + A_{34} = 0 + 2790 \text{ Дж} = 2790 \text{ Дж} $.

Общее количество теплоты:

Суммируем теплоту, полученную на всех участках:

$ Q_{1-4} = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} = 12450 \text{ Дж} + 59760 \text{ Дж} + 2790 \text{ Дж} = 75000 \text{ Дж} = 75 \text{ кДж} $.

Ответ: $ 75 \text{ кДж} $.