Номер 866, страница 189 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

866. Электрическая цепь состоит из источника тока и двух последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Если вольтметр подключить параллельно сначала резистору $R_1$, а затем — $R_2$, он покажет напряжение соответственно $U_1=6,0$ В и $U_2=4,0$ В. Если вольтметр подключить непосредственно к источнику тока, он покажет напряжение $U=12,0$ В. Определите напряжение на резисторах $R_1$ и $R_2$ до подключения вольтметра. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Дано:

Напряжение при подключении вольтметра к $R_1$: $U_1 = 6,0 \text{ В}$

Напряжение при подключении вольтметра к $R_2$: $U_2 = 4,0 \text{ В}$

Напряжение на источнике тока (ЭДС): $E = 12,0 \text{ В}$

Внутреннее сопротивление источника $r=0$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$U'_1$, $U'_2$ — напряжения на резисторах $R_1$ и $R_2$ до подключения вольтметра.

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $R_1$ и $R_2$, а внутреннее сопротивление вольтметра — как $R_V$. Поскольку внутреннее сопротивление источника равно нулю, его ЭДС $E$ равна напряжению на его клеммах, то есть $E = 12,0 \text{ В}$.

В исходной цепи (без вольтметра) резисторы соединены последовательно. Напряжения на них $U'_1$ и $U'_2$ распределяются пропорционально их сопротивлениям:

$\frac{U'_1}{U'_2} = \frac{R_1}{R_2}$

При этом их сумма равна ЭДС источника: $U'_1 + U'_2 = E = 12,0 \text{ В}$.

Чтобы найти $U'_1$ и $U'_2$, нам необходимо определить соотношение сопротивлений $\frac{R_1}{R_2}$.

1. Вольтметр подключен параллельно резистору $R_1$.

В этом случае резистор $R_2$ и параллельный ему участок ($R_1$ и $R_V$) соединены последовательно. Согласно второму правилу Кирхгофа, сумма напряжений на этих участках равна ЭДС:

$U_1 + U_{R2} = E$, где $U_{R2}$ — напряжение на резисторе $R_2$.

$U_{R2} = E - U_1 = 12,0 \text{ В} - 6,0 \text{ В} = 6,0 \text{ В}$.

Общий ток в цепи $I_1$ проходит через $R_2$, а затем разветвляется на ток через $R_1$ и ток через вольтметр $R_V$.

По закону Ома для участка цепи: $I_1 = \frac{U_{R2}}{R_2} = \frac{6,0}{R_2}$.

По первому правилу Кирхгофа: $I_1 = I_{R1} + I_V = \frac{U_1}{R_1} + \frac{U_1}{R_V} = \frac{6,0}{R_1} + \frac{6,0}{R_V}$.

Приравнивая выражения для тока $I_1$ и разделив на 6,0, получаем первое уравнение:

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_V}$ (1)

2. Вольтметр подключен параллельно резистору $R_2$.

Аналогично, напряжение на резисторе $R_1$ равно:

$U_{R1} = E - U_2 = 12,0 \text{ В} - 4,0 \text{ В} = 8,0 \text{ В}$.

Общий ток в цепи $I_2$ равен:

$I_2 = \frac{U_{R1}}{R_1} = \frac{8,0}{R_1}$.

Этот ток разветвляется: $I_2 = I_{R2} + I_V = \frac{U_2}{R_2} + \frac{U_2}{R_V} = \frac{4,0}{R_2} + \frac{4,0}{R_V}$.

Приравнивая выражения для тока $I_2$ и разделив на 4,0, получаем второе уравнение:

$\frac{2}{R_1} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_V}$ (2)

3. Решение системы уравнений (1) и (2).

Мы получили систему:

$\begin{cases} \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_V} \\ \frac{2}{R_1} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_V} \end{cases}$

Правые части уравнений содержат одинаковое слагаемое $\frac{1}{R_2}$. Приравняем левую часть второго уравнения к правой части первого:

$\frac{2}{R_1} - \frac{1}{R_V} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_V}$

Вычтем $\frac{1}{R_1}$ из обеих частей и прибавим $\frac{1}{R_V}$ к обеим частям:

$\frac{1}{R_1} = \frac{2}{R_V}$

Это неверно. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$\frac{2}{R_1} - \frac{1}{R_2} = (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_V}) - (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_V})$

$\frac{2}{R_1} - \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}$

Соберем слагаемые с $R_1$ слева, а с $R_2$ — справа:

$\frac{2}{R_1} + \frac{1}{R_1} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2}$

$\frac{3}{R_1} = \frac{2}{R_2}$

Отсюда находим искомое отношение сопротивлений:

$3R_2 = 2R_1 \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{2}$.

4. Расчет напряжений $U'_1$ и $U'_2$.

Теперь, зная отношение сопротивлений, мы можем найти напряжения в исходной цепи.

$\frac{U'_1}{U'_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{2} \implies U'_1 = \frac{3}{2}U'_2$.

Подставим это в уравнение $U'_1 + U'_2 = 12,0$:

$\frac{3}{2}U'_2 + U'_2 = 12,0$

$\frac{5}{2}U'_2 = 12,0$

$U'_2 = 12,0 \cdot \frac{2}{5} = \frac{24,0}{5} = 4,8 \text{ В}$.

Тогда напряжение на первом резисторе:

$U'_1 = 12,0 - U'_2 = 12,0 - 4,8 = 7,2 \text{ В}$.

Ответ: напряжение на резисторе $R_1$ до подключения вольтметра составляло $7,2 \text{ В}$, а на резисторе $R_2$ — $4,8 \text{ В}$.