Номер 860, страница 188 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

860. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 178, сопротивления резисторов $R_1 = 1$ Ом, $R_2 = 2$ Ом. Определите внутреннее сопротивление источника тока, если при разомкнутом ключе $K$ через первый резистор протекает ток $I_1 = 2,8$ А, а при замкнутом ключе $K$ через второй резистор протекает ток $I_2 = 1,0$ А.

Рис. 178

Дано:

$R_1 = 1$ Ом

$R_2 = 2$ Ом

$I_1 = 2,8$ А (ток через $R_1$ при разомкнутом ключе K)

$I_2 = 1,0$ А (ток через $R_2$ при замкнутом ключе K)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$r$ — внутреннее сопротивление источника

Решение:

Рассмотрим два случая работы электрической цепи.

1. Ключ $K$ разомкнут.

В этом случае ток протекает только через резистор $R_1$. Цепь состоит из источника тока с ЭДС $ℰ$ и внутренним сопротивлением $r$, и внешнего сопротивления $R_1$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I_1$ равна:

$I_1 = \frac{ℰ}{R_1 + r}$

Отсюда можно выразить ЭДС источника:

$ℰ = I_1 (R_1 + r)$ (1)

2. Ключ $K$ замкнут.

В этом случае резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно. Напряжение на клеммах источника (внешнее напряжение) $U$ будет одинаковым для обоих резисторов.

По закону Ома для участка цепи с резистором $R_2$, напряжение на нем равно:

$U = I_2 R_2$

Это же напряжение приложено и к резистору $R_1$. Ток, протекающий через $R_1$, будет равен $I'_1 = \frac{U}{R_1}$.

Общий ток, который дает источник, равен сумме токов в параллельных ветвях:

$I_{общ} = I'_1 + I_2 = \frac{U}{R_1} + I_2$

Подставим выражение для $U$:

$I_{общ} = \frac{I_2 R_2}{R_1} + I_2 = I_2 \cdot (\frac{R_2}{R_1} + 1)$

С другой стороны, по закону Ома для полной цепи, напряжение на клеммах источника равно:

$U = ℰ - I_{общ} r$

Подставим в это уравнение выражения для $U$ и $I_{общ}$:

$I_2 R_2 = ℰ - I_2 \cdot (\frac{R_2}{R_1} + 1) \cdot r$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $ℰ$ и $r$. Подставим выражение для $ℰ$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$I_2 R_2 = I_1 (R_1 + r) - I_2 \cdot (\frac{R_2}{R_1} + 1) \cdot r$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $r$:

$I_2 R_2 = I_1 R_1 + I_1 r - I_2 \frac{R_2}{R_1} r - I_2 r$

$I_2 R_2 - I_1 R_1 = r \cdot (I_1 - I_2 \frac{R_2}{R_1} - I_2)$

$I_2 R_2 - I_1 R_1 = r \cdot (I_1 - I_2 (\frac{R_2 + R_1}{R_1}))$

Выразим внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2 \frac{R_1 + R_2}{R_1}}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{1,0 \cdot 2 - 2,8 \cdot 1}{2,8 - 1,0 \cdot \frac{1 + 2}{1}} = \frac{2 - 2,8}{2,8 - 3} = \frac{-0,8}{-0,2} = 4$ Ом

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно 4 Ом.