Номер 857, страница 187 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

857. Два одинаковых вольтметра, соединенные последовательно и подключенные к источнику тока, показывают напряжение $U_1 = 2,0$ В каждый. Определите ЭДС источника тока, если один вольтметр, подключенный к тому же источнику, показывает напряжение $U_2 = 3,0$ В.

Дано:

Напряжение на каждом из двух последовательно соединенных вольтметров $U_1 = 2,0$ В.

Напряжение на одном вольтметре, подключенном к тому же источнику, $U_2 = 3,0$ В.

Вольтметры одинаковые.

Найти:

ЭДС источника тока $\mathcal{E}$.

Решение:

Пусть $\mathcal{E}$ – искомая ЭДС источника, $r$ – его внутреннее сопротивление, а $R_V$ – сопротивление каждого из одинаковых вольтметров.

Рассмотрим первый случай, когда два вольтметра соединены последовательно. Общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений вольтметров: $R_{ext,1} = R_V + R_V = 2R_V$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{ext,1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{2R_V + r}$

Напряжение $U_1$ на клеммах одного вольтметра определяется по закону Ома для участка цепи: $U_1 = I_1 \cdot R_V$. Подставим в эту формулу выражение для тока $I_1$ и значение напряжения $U_1$ из условия задачи:

$2,0 = \frac{\mathcal{E}}{2R_V + r} \cdot R_V$ (1)

Рассмотрим второй случай, когда к источнику подключен один вольтметр. Внешнее сопротивление цепи в этом случае равно сопротивлению одного вольтметра: $R_{ext,2} = R_V$.

Сила тока в цепи будет равна:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{ext,2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_V + r}$

Напряжение $U_2$, которое показывает вольтметр, равно: $U_2 = I_2 \cdot R_V$. Подставим выражение для тока $I_2$ и значение напряжения $U_2$:

$3,0 = \frac{\mathcal{E}}{R_V + r} \cdot R_V$ (2)

В результате мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с тремя неизвестными: $\mathcal{E}$, $r$, и $R_V$. Решим эту систему.

Выразим из каждого уравнения произведение $\mathcal{E} \cdot R_V$:

Из уравнения (1):

$\mathcal{E} \cdot R_V = 2,0 \cdot (2R_V + r) = 4,0 R_V + 2,0 r$

Из уравнения (2):

$\mathcal{E} \cdot R_V = 3,0 \cdot (R_V + r) = 3,0 R_V + 3,0 r$

Поскольку левые части полученных выражений равны, мы можем приравнять их правые части:

$4,0 R_V + 2,0 r = 3,0 R_V + 3,0 r$

Перенесем слагаемые с $R_V$ в одну сторону, а с $r$ – в другую:

$4,0 R_V - 3,0 R_V = 3,0 r - 2,0 r$

$R_V = r$

Таким образом, мы установили, что внутреннее сопротивление источника равно сопротивлению вольтметра.

Теперь подставим это соотношение ($r = R_V$) в любое из исходных уравнений, например, в уравнение (2):

$3,0 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{R_V + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{2R_V}$

Сопротивление $R_V$ в числителе и знаменателе сокращается:

$3,0 = \frac{\mathcal{E}}{2}$

Отсюда выражаем искомую ЭДС источника:

$\mathcal{E} = 3,0 \cdot 2 = 6,0$ В

Ответ: ЭДС источника тока равна $6,0$ В.