Номер 856, страница 187 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

856. При подключении к источнику тока двух одинаковых резисторов, соединенных между собой параллельно, напряжение на каждом из них $U_1 = 10$ В. Определите ЭДС источника, если напряжение на одном резисторе, подключенном к тому же источнику тока, $U_2 = 12$ В.

Дано:

$U_1 = 10$ В

$U_2 = 12$ В

Найти:

$\mathcal{E}$ — ?

Решение:

Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $r$, а сопротивление каждого из одинаковых резисторов как $R$.

Закон Ома для полной цепи имеет вид:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r}$

где $I$ — сила тока в цепи, а $R_{внеш}$ — внешнее сопротивление цепи.

Напряжение на внешнем участке цепи $U$ связано с ЭДС соотношением:

$\mathcal{E} = U + I \cdot r$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1. Два резистора соединены параллельно.

Общее внешнее сопротивление $R_1$ для двух одинаковых резисторов $R$, соединенных параллельно, равно:

$R_1 = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Напряжение на внешнем участке цепи (на параллельно соединенных резисторах) по условию равно $U_1 = 10$ В. Сила тока $I_1$ в цепи, согласно закону Ома для участка цепи, равна:

$I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{10}{R/2} = \frac{20}{R}$

Подставим эти значения в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E} = U_1 + I_1 \cdot r = 10 + \frac{20}{R} \cdot r$ (1)

2. К источнику подключен один резистор.

Внешнее сопротивление цепи $R_2$ в этом случае равно сопротивлению одного резистора:

$R_2 = R$

Напряжение на резисторе по условию равно $U_2 = 12$ В. Сила тока $I_2$ в цепи равна:

$I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{12}{R}$

Подставим эти значения в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E} = U_2 + I_2 \cdot r = 12 + \frac{12}{R} \cdot r$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с неизвестными $\mathcal{E}$, $r$ и $R$. Приравняем правые части уравнений, так как ЭДС источника в обоих случаях одинакова:

$10 + \frac{20r}{R} = 12 + \frac{12r}{R}$

Решим это уравнение относительно отношения $\frac{r}{R}$:

$\frac{20r}{R} - \frac{12r}{R} = 12 - 10$

$\frac{8r}{R} = 2$

$\frac{r}{R} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное отношение $\frac{r}{R}$ в любое из уравнений для ЭДС, например, в уравнение (2):

$\mathcal{E} = 12 + 12 \cdot \frac{r}{R} = 12 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 12 + 3 = 15$ В.

Проверим, подставив во второе уравнение:

$\mathcal{E} = 10 + 20 \cdot \frac{r}{R} = 10 + 20 \cdot \frac{1}{4} = 10 + 5 = 15$ В.

Результаты совпадают.

Ответ: ЭДС источника равна 15 В.