Номер 849, страница 186 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

849. На полюсах аккумулятора, к которому подключен реостат, напряжение $U_1 = 10 \text{ В}$. При увеличении сопротивления реостата в $n = 6,0$ раза напряжение на полюсах аккумулятора увеличивается в $k = 2,0$ раза. Определите ЭДС аккумулятора.

Дано

$U_1 = 10 \text{ В}$

$n = 6,0$

$k = 2,0$

Найти:

$\mathcal{E}$ - ?

Решение

Запишем закон Ома для полной цепи в двух случаях. Пусть $\mathcal{E}$ — ЭДС аккумулятора, $r$ — его внутреннее сопротивление.

1. Начальное состояние.

Пусть начальное сопротивление реостата равно $R_1$. Ток в цепи $I_1$ и напряжение на полюсах аккумулятора $U_1$ связаны следующими соотношениями:

Сила тока по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Напряжение на полюсах аккумулятора (оно же напряжение на реостате):

$U_1 = I_1 \cdot R_1$

Подставим выражение для силы тока в формулу для напряжения:

$U_1 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_1}{R_1 + r}$ (1)

2. Конечное состояние.

Сопротивление реостата увеличили в $n$ раз, новое сопротивление $R_2 = n \cdot R_1$. Напряжение на полюсах увеличилось в $k$ раз, новое напряжение $U_2 = k \cdot U_1$.

Новая сила тока в цепи:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r} = \frac{\mathcal{E}}{n \cdot R_1 + r}$

Новое напряжение на полюсах:

$U_2 = I_2 \cdot R_2$

Подставим выражения для $I_2$, $R_2$ и $U_2$:

$k \cdot U_1 = \frac{\mathcal{E} \cdot (n \cdot R_1)}{n \cdot R_1 + r}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с тремя неизвестными: $\mathcal{E}$, $r$, $R_1$. Наша цель — найти $\mathcal{E}$, исключив $r$ и $R_1$.

Из уравнения (1) выразим внутреннее сопротивление $r$:

$U_1 \cdot (R_1 + r) = \mathcal{E} \cdot R_1$

$U_1 \cdot R_1 + U_1 \cdot r = \mathcal{E} \cdot R_1$

$U_1 \cdot r = (\mathcal{E} - U_1) \cdot R_1$

$r = \frac{(\mathcal{E} - U_1) \cdot R_1}{U_1}$ (3)

Из уравнения (2) также выразим $r$:

$k \cdot U_1 \cdot (n \cdot R_1 + r) = \mathcal{E} \cdot n \cdot R_1$

$k \cdot n \cdot U_1 \cdot R_1 + k \cdot U_1 \cdot r = \mathcal{E} \cdot n \cdot R_1$

$k \cdot U_1 \cdot r = (\mathcal{E} \cdot n - k \cdot n \cdot U_1) \cdot R_1$

$r = \frac{(\mathcal{E} \cdot n - k \cdot n \cdot U_1) \cdot R_1}{k \cdot U_1}$ (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4):

$\frac{(\mathcal{E} - U_1) \cdot R_1}{U_1} = \frac{(\mathcal{E} \cdot n - k \cdot n \cdot U_1) \cdot R_1}{k \cdot U_1}$

Сократим обе части на $R_1$ (так как $R_1 \neq 0$):

$\frac{\mathcal{E} - U_1}{U_1} = \frac{\mathcal{E} \cdot n - k \cdot n \cdot U_1}{k \cdot U_1}$

Умножим обе части на $k \cdot U_1$ (так как $U_1 \neq 0$ и $k \neq 0$):

$k \cdot (\mathcal{E} - U_1) = \mathcal{E} \cdot n - k \cdot n \cdot U_1$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $\mathcal{E}$:

$k \cdot \mathcal{E} - k \cdot U_1 = n \cdot \mathcal{E} - k \cdot n \cdot U_1$

$k \cdot n \cdot U_1 - k \cdot U_1 = n \cdot \mathcal{E} - k \cdot \mathcal{E}$

$k \cdot U_1 \cdot (n - 1) = \mathcal{E} \cdot (n - k)$

Отсюда выразим ЭДС $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = \frac{k \cdot U_1 \cdot (n - 1)}{n - k}$

Подставим числовые значения:

$\mathcal{E} = \frac{2,0 \cdot 10 \text{ В} \cdot (6,0 - 1)}{6,0 - 2,0} = \frac{20 \cdot 5}{4} = \frac{100}{4} = 25 \text{ В}$

Ответ: $\mathcal{E} = 25 \text{ В}$.