Номер 842, страница 184 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

842. ЭДС источника тока $\mathcal{E}=9,0$ В, его внутреннее сопротивление $r=2,0$ Ом (рис. 172). Сопротивление каждого резистора $R = 6,0$ Ом. Определите показание вольтметра, сопротивление которого значительно больше сопротивления резистора.

$\mathcal{E}, r$

Рис. 172

Дано:

ЭДС источника тока: $E = 9,0$ В

Внутреннее сопротивление: $r = 2,0$ Ом

Сопротивление каждого резистора: $R = 6,0$ Ом

Сопротивление вольтметра: $R_V \to \infty$

Найти:

Показание вольтметра: $U_V$

Решение:

Согласно условию, сопротивление вольтметра значительно больше сопротивления резистора. Это означает, что вольтметр можно считать идеальным, и ток через него не течет. Показание вольтметра равно модулю разности потенциалов между точками, к которым он подключен.

Рассмотрим электрическую схему, изображенную на рисунке. Она обладает полной симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр. Все шесть резисторов имеют одинаковое сопротивление $R$. Вольтметр подключен к двум симметрично расположенным узлам схемы.

В силу симметрии схемы, распределение токов и потенциалов в ней также будет симметричным. Это означает, что потенциалы в симметрично расположенных точках цепи будут одинаковы.

Пусть $\phi_D$ — потенциал левой точки подключения вольтметра, а $\phi_E$ — потенциал правой точки. Так как эти точки симметричны, их потенциалы равны:

$\phi_D = \phi_E$

Показание вольтметра $U_V$ определяется как разность потенциалов между этими точками:

$U_V = |\phi_D - \phi_E|$

Подставляя $\phi_D = \phi_E$, получаем:

$U_V = |\phi_D - \phi_D| = 0$

Таким образом, показание вольтметра равно нулю. Этот вывод не зависит от конкретных значений $E$, $r$ и $R$, важна лишь идентичность сопротивлений резисторов и симметрия схемы.

Для строгого доказательства можно применить метод узловых потенциалов. Обозначим узел над вольтметром как C, а центральный узел (образованный соединением двух внутренних узлов) как M. Поскольку ток через вольтметр не течет, для левого узла D подключения вольтметра по первому правилу Кирхгофа можно записать равенство токов, текущих по ветвям MD и DC:

$I_{MD} = I_{DC} \implies \frac{\phi_M - \phi_D}{R} = \frac{\phi_D - \phi_C}{R}$

Отсюда $2\phi_D = \phi_M + \phi_C$, и $\phi_D = \frac{\phi_M + \phi_C}{2}$.

Аналогично для правого узла E:

$I_{ME} = I_{EC} \implies \frac{\phi_M - \phi_E}{R} = \frac{\phi_E - \phi_C}{R}$

Отсюда $2\phi_E = \phi_M + \phi_C$, и $\phi_E = \frac{\phi_M + \phi_C}{2}$.

Сравнивая выражения для потенциалов, видим, что $\phi_D = \phi_E$, что и подтверждает нулевое показание вольтметра.

Ответ: Показание вольтметра равно 0 В.