Номер 847, страница 185 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

847. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора, если известно, что при замыкании его на внешнее сопротивление $R_1 = 1,0 \text{ Ом}$ напряжение на зажимах аккумулятора $U_1 = 2,0 \text{ В}$, а при замыкании на внешнее сопротивление $R_2 = 2,0 \text{ Ом}$ напряжение на зажимах $U_2 = 2,4 \text{ В}$.

Дано:

$R_1 = 1,0$ Ом

$U_1 = 2,0$ В

$R_2 = 2,0$ Ом

$U_2 = 2,4$ В

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи. Сила тока в цепи $I$ определяется ЭДС источника $\mathscr{E}$, внешним сопротивлением $R$ и внутренним сопротивлением $r$ по формуле:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

Напряжение на зажимах аккумулятора $U$ равно напряжению на внешнем сопротивлении $R$. По закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

Напряжение на зажимах также можно выразить как разность между ЭДС и падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника:

$U = \mathscr{E} - I \cdot r$

Запишем эту формулу для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. При подключении сопротивления $R_1$, сила тока в цепи $I_1 = \frac{U_1}{R_1}$. Тогда напряжение на зажимах:

$U_1 = \mathscr{E} - I_1 \cdot r = \mathscr{E} - \frac{U_1}{R_1} \cdot r$

2. При подключении сопротивления $R_2$, сила тока в цепи $I_2 = \frac{U_2}{R_2}$. Тогда напряжение на зажимах:

$U_2 = \mathscr{E} - I_2 \cdot r = \mathscr{E} - \frac{U_2}{R_2} \cdot r$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: ЭДС $\mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

$\begin{cases} U_1 = \mathscr{E} - \frac{U_1}{R_1}r \\ U_2 = \mathscr{E} - \frac{U_2}{R_2}r \end{cases}$

Выразим ЭДС $\mathscr{E}$ из каждого уравнения:

$\mathscr{E} = U_1 + \frac{U_1}{R_1}r$

$\mathscr{E} = U_2 + \frac{U_2}{R_2}r$

Поскольку ЭДС аккумулятора в обоих случаях одна и та же, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$U_1 + \frac{U_1}{R_1}r = U_2 + \frac{U_2}{R_2}r$

Перенесем слагаемые с $r$ в одну сторону, а остальные — в другую:

$\frac{U_1}{R_1}r - \frac{U_2}{R_2}r = U_2 - U_1$

Вынесем $r$ за скобки:

$r \cdot (\frac{U_1}{R_1} - \frac{U_2}{R_2}) = U_2 - U_1$

Отсюда выразим внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{U_2 - U_1}{\frac{U_1}{R_1} - \frac{U_2}{R_2}}$

Подставим числовые значения из условия:

$r = \frac{2,4 \text{ В} - 2,0 \text{ В}}{\frac{2,0 \text{ В}}{1,0 \text{ Ом}} - \frac{2,4 \text{ В}}{2,0 \text{ Ом}}} = \frac{0,4 \text{ В}}{2,0 \text{ А} - 1,2 \text{ А}} = \frac{0,4 \text{ В}}{0,8 \text{ А}} = 0,5 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление аккумулятора равно $0,5$ Ом.