Номер 850, страница 186 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

850. В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора сопротивлением $R=20 \text{ Ом}$, включают вольтметр сначала последовательно, а затем параллельно резистору. Показания вольтметра в обоих случаях одинаковы. Определите сопротивление вольтметра, если внутреннее сопротивление аккумулятора $r = 0,1 \text{ Ом}$.

Дано

Сопротивление резистора $R = 20$ Ом

Внутреннее сопротивление аккумулятора $r = 0,1$ Ом

Найти:

Сопротивление вольтметра $R_V$ - ?

Решение

Обозначим ЭДС аккумулятора как $\mathcal{E}$, а искомое сопротивление вольтметра как $R_V$. Рассмотрим два случая подключения вольтметра.

1. Вольтметр подключен последовательно с резистором.В этом случае общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений резистора и вольтметра: $R_{внеш1} = R + R_V$.Сила тока в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, составляет:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R + R_V + r}$

Вольтметр показывает напряжение на своих клеммах. По закону Ома для участка цепи, это напряжение равно:

$U_1 = I_1 \cdot R_V = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{R + R_V + r}$

2. Вольтметр подключен параллельно резистору.Сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно соединенных резистора и вольтметра, равно:

$R_{внеш2} = \frac{R \cdot R_V}{R + R_V}$

Сила тока, текущего от аккумулятора, в этом случае будет:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R \cdot R_V}{R + R_V} + r}$

Вольтметр показывает напряжение на параллельном участке, которое равно напряжению на внешней цепи:

$U_2 = I_2 \cdot R_{внеш2} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R \cdot R_V}{R + R_V} + r} \cdot \frac{R \cdot R_V}{R + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R \cdot R_V}{R \cdot R_V + r(R + R_V)}$

По условию задачи, показания вольтметра в обоих случаях одинаковы: $U_1 = U_2$.

$\frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{R + R_V + r} = \frac{\mathcal{E} \cdot R \cdot R_V}{R \cdot R_V + rR + rR_V}$

Поскольку $\mathcal{E} \neq 0$ и $R_V \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $\mathcal{E} \cdot R_V$:

$\frac{1}{R + R_V + r} = \frac{R}{R \cdot R_V + rR + rR_V}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$1 \cdot (R \cdot R_V + rR + rR_V) = R \cdot (R + R_V + r)$

$R \cdot R_V + rR + rR_V = R^2 + R \cdot R_V + Rr$

Сократим одинаковые слагаемые ($R \cdot R_V$ и $Rr$) в обеих частях уравнения:

$rR_V = R^2$

Отсюда выразим искомое сопротивление вольтметра $R_V$:

$R_V = \frac{R^2}{r}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R_V = \frac{(20 \text{ Ом})^2}{0.1 \text{ Ом}} = \frac{400 \text{ Ом}^2}{0.1 \text{ Ом}} = 4000 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление вольтметра равно 4000 Ом (или 4 кОм).