Номер 851, страница 186 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

851. Электрическая цепь состоит из источника тока и лампочки сопротивлением $R_1 = 15 \text{ Ом}$. К лампочке подключают резистор сопротивлением $R_2 = 45 \text{ Ом}$ сначала параллельно, а затем последовательно ей. Определите внутреннее сопротивление источника тока, если через резистор в обоих случаях протекает одинаковый ток.

Дано:

Сопротивление лампочки, $R_1 = 15$ Ом

Сопротивление резистора, $R_2 = 45$ Ом

Ток через резистор $R_2$ в обоих случаях одинаков.

Найти:

Внутреннее сопротивление источника, $r$

Решение:

Обозначим ЭДС источника тока как $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление как $r$.

1. Случай параллельного подключения.

Лампочка с сопротивлением $R_1$ и резистор с сопротивлением $R_2$ соединены параллельно. Их общее сопротивление $R_{12,пар}$ равно:

$R_{12,пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Полное сопротивление цепи в этом случае равно:

$R_{общ,пар} = R_{12,пар} + r = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r$

Общий ток в цепи, согласно закону Ома для полной цепи:

$I_{общ,пар} = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ,пар}} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r}$

Напряжение на параллельном участке цепи:

$U_{пар} = I_{общ,пар} \cdot R_{12,пар} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + r} \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Ток через резистор $R_2$ можно найти по закону Ома для участка цепи:

$I_{R2,пар} = \frac{U_{пар}}{R_2} = \frac{1}{R_2} \cdot \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_1 R_2 + r(R_1+R_2)}{R_1+R_2}} \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 R_2 + r(R_1 + R_2)}$

2. Случай последовательного подключения.

Лампочка с сопротивлением $R_1$ и резистор с сопротивлением $R_2$ соединены последовательно. Их общее сопротивление $R_{12,посл}$ равно:

$R_{12,посл} = R_1 + R_2$

Полное сопротивление цепи в этом случае равно:

$R_{общ,посл} = R_{12,посл} + r = R_1 + R_2 + r$

Общий ток в цепи, который протекает и через лампочку, и через резистор, равен:

$I_{R2,посл} = I_{общ,посл} = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ,посл}} = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + r}$

3. Определение внутреннего сопротивления.

По условию задачи, ток через резистор $R_2$ в обоих случаях одинаков: $I_{R2,пар} = I_{R2,посл}$.

Приравняем полученные выражения для токов:

$\frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 R_2 + r(R_1 + R_2)} = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + r}$

Сократим $\mathcal{E}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{R_1 R_2 + r R_1 + r R_2} = \frac{1}{R_1 + R_2 + r}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$R_1(R_1 + R_2 + r) = R_1 R_2 + r R_1 + r R_2$

Раскроем скобки:

$R_1^2 + R_1 R_2 + R_1 r = R_1 R_2 + r R_1 + r R_2$

Сократим одинаковые члены ($R_1 R_2$ и $R_1 r$) в обеих частях уравнения:

$R_1^2 = r R_2$

Отсюда выразим внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{R_1^2}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{(15 \text{ Ом})^2}{45 \text{ Ом}} = \frac{225 \text{ Ом}^2}{45 \text{ Ом}} = 5 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно 5 Ом.