Номер 858, страница 188 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

858. Два вольтметра, соединенные последовательно, подключены к источнику тока и показывают разное напряжение: $U_1 = 10 \text{ В}$ и $U_2 = 15 \text{ В}$. Если в цепи оставить только первый вольтметр, он покажет напряжение $U = 20 \text{ В}$. Определите ЭДС источника тока.

Дано:

$U_1 = 10$ В

$U_2 = 15$ В

$U = 20$ В

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $r$, а сопротивления первого и второго вольтметров как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Вольтметры считаем неидеальными, то есть обладающими конечным сопротивлением.

В первом случае, когда вольтметры соединены последовательно, через них течет одинаковый ток $I_1$. Согласно закону Ома для участка цепи, напряжения на вольтметрах равны $U_1 = I_1 R_1$ и $U_2 = I_1 R_2$. Из этого соотношения можно найти отношение их сопротивлений:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1 R_2}{I_1 R_1} = \frac{R_2}{R_1}$

Подставив известные значения напряжений: $\frac{15}{10} = 1.5$, следовательно, $R_2 = 1.5 R_1$.

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи определяется как $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ} + r}$, где $R_{общ} = R_1 + R_2$. Подставив $R_2 = 1.5 R_1$, получим общее внешнее сопротивление $R_{общ} = R_1 + 1.5 R_1 = 2.5 R_1$. Тогда ток $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{2.5 R_1 + r}$.

Напряжение на первом вольтметре $U_1 = I_1 R_1$. Подставим выражение для тока и значение напряжения:

$10 = \frac{\mathcal{E} R_1}{2.5 R_1 + r}$ (1)

Во втором случае, когда к источнику подключен только первый вольтметр, внешнее сопротивление цепи равно $R_1$. Сила тока в цепи $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$. Вольтметр показывает напряжение $U = I_2 R_1$. Подставим известные значения:

$20 = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + r}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Выразим произведение $\mathcal{E} R_1$ из каждого уравнения:

Из (1): $\mathcal{E} R_1 = 10(2.5 R_1 + r) = 25 R_1 + 10r$

Из (2): $\mathcal{E} R_1 = 20(R_1 + r) = 20 R_1 + 20r$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны:

$25 R_1 + 10r = 20 R_1 + 20r$

$5 R_1 = 10r$

$R_1 = 2r$

Теперь подставим найденное соотношение $R_1 = 2r$ в уравнение (2), чтобы найти $\mathcal{E}$:

$20 = \frac{\mathcal{E} (2r)}{2r + r} = \frac{2\mathcal{E}r}{3r}$

Поскольку $r \neq 0$, можно сократить $r$:

$20 = \frac{2\mathcal{E}}{3}$

Откуда находим ЭДС источника:

$\mathcal{E} = \frac{20 \cdot 3}{2} = 30$ В

Ответ: ЭДС источника тока равна 30 В.