Номер 875, страница 191 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

875. Сила тока при коротком замыкании источника тока равна $I_{\text{к. з.}}$. При подключении к этому источнику резистора сопротивлением $R$ в цепи протекает ток $I$. Определите ЭДС источника тока.

Дано:

Сила тока при коротком замыкании - $I_{к.з.}$ [А]

Сопротивление внешнего резистора - $R$ [Ом]

Сила тока в цепи с резистором - $I$ [А]

Найти:

ЭДС источника тока - $\mathcal{E}$

Решение:

Запишем закон Ома для полной цепи. Сила тока в цепи, содержащей источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, а также внешнее сопротивление $R$, определяется по формуле:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Рассмотрим два случая, описанных в условии.

1. При коротком замыкании внешнее сопротивление цепи равно нулю ($R=0$). Ток в цепи в этом случае равен току короткого замыкания $I_{к.з.}$.

$I_{к.з.} = \frac{\mathcal{E}}{0+r} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Из этой формулы мы можем выразить внутреннее сопротивление источника $r$ через ЭДС и ток короткого замыкания:

$r = \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}}$ (1)

2. При подключении к источнику резистора с сопротивлением $R$, ток в цепи равен $I$. Для этого случая закон Ома для полной цепи имеет вид:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$ (2)

Подставим выражение для внутреннего сопротивления $r$ из формулы (1) в формулу (2):

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}}}$

Теперь решим полученное уравнение относительно искомой величины $\mathcal{E}$.

$I \cdot \left(R + \frac{\mathcal{E}}{I_{к.з.}}\right) = \mathcal{E}$

$I \cdot R + \frac{I \cdot \mathcal{E}}{I_{к.з.}} = \mathcal{E}$

Перенесем все члены с $\mathcal{E}$ в одну сторону уравнения:

$I \cdot R = \mathcal{E} - \frac{I \cdot \mathcal{E}}{I_{к.з.}}$

Вынесем $\mathcal{E}$ за скобки:

$I \cdot R = \mathcal{E} \left(1 - \frac{I}{I_{к.з.}}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$I \cdot R = \mathcal{E} \left(\frac{I_{к.з.} - I}{I_{к.з.}}\right)$

Наконец, выразим ЭДС источника тока $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = \frac{I \cdot R \cdot I_{к.з.}}{I_{к.з.} - I}$

Ответ: $\mathcal{E} = \frac{I \cdot I_{к.з.} \cdot R}{I_{к.з.} - I}$.