Номер 876, страница 191 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

876. Определите силу тока при коротком замыкании аккумулятора, если известно, что при замыкании его на внешнее сопротивление $R_1 = 1 \text{ Ом}$ напряжение на полюсах аккумулятора $U_1 = 2,0 \text{ В}$, а при замыкании на сопротивление $R_2 = 2 \text{ Ом} - U_2 = 2,4 \text{ В}.

Дано:

$R_1 = 1$ Ом

$U_1 = 2,0$ В

$R_2 = 2$ Ом

$U_2 = 2,4$ В

Найти:

$I_{кз}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи. Сила тока $I$ в цепи, содержащей источник с ЭДС (электродвижущей силой) $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, при подключении к внешнему сопротивлению $R$, определяется формулой:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Напряжение на полюсах аккумулятора (на внешнем сопротивлении) связано с силой тока по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

Подставим второе уравнение в первое и получим выражение для напряжения на полюсах:

$\frac{U}{R} = \frac{\mathcal{E}}{R+r} \implies U = \frac{\mathcal{E} \cdot R}{R+r}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. При подключении сопротивления $R_1$:

$U_1 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_1}{R_1+r}$

2. При подключении сопротивления $R_2$:

$U_2 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_2}{R_2+r}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Выразим $\mathcal{E}$ из каждого уравнения:

Из первого уравнения: $U_1(R_1+r) = \mathcal{E} \cdot R_1 \implies \mathcal{E} = \frac{U_1(R_1+r)}{R_1}$

Из второго уравнения: $U_2(R_2+r) = \mathcal{E} \cdot R_2 \implies \mathcal{E} = \frac{U_2(R_2+r)}{R_2}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{U_1(R_1+r)}{R_1} = \frac{U_2(R_2+r)}{R_2}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$U_1 + \frac{U_1}{R_1}r = U_2 + \frac{U_2}{R_2}r$

$r \cdot \left(\frac{U_1}{R_1} - \frac{U_2}{R_2}\right) = U_2 - U_1$

$r = \frac{U_2 - U_1}{\frac{U_1}{R_1} - \frac{U_2}{R_2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{2,4 \text{ В} - 2,0 \text{ В}}{\frac{2,0 \text{ В}}{1 \text{ Ом}} - \frac{2,4 \text{ В}}{2 \text{ Ом}}} = \frac{0,4 \text{ В}}{2,0 \text{ А} - 1,2 \text{ А}} = \frac{0,4 \text{ В}}{0,8 \text{ А}} = 0,5$ Ом

Теперь найдем ЭДС $\mathcal{E}$, подставив найденное значение $r$ в любое из выражений для $\mathcal{E}$ (например, в первое):

$\mathcal{E} = \frac{U_1(R_1+r)}{R_1} = \frac{2,0 \text{ В} \cdot (1 \text{ Ом} + 0,5 \text{ Ом})}{1 \text{ Ом}} = \frac{2,0 \text{ В} \cdot 1,5 \text{ Ом}}{1 \text{ Ом}} = 3,0$ В

Сила тока короткого замыкания ($I_{кз}$) возникает, когда внешнее сопротивление равно нулю ($R=0$). По закону Ома для полной цепи:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим найденные значения $\mathcal{E}$ и $r$:

$I_{кз} = \frac{3,0 \text{ В}}{0,5 \text{ Ом}} = 6,0$ А

Ответ: сила тока при коротком замыкании аккумулятора равна 6,0 А.