Номер 877, страница 191 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

877. Определите силу тока при коротком замыкании гальванического элемента, если известно, что при внешней нагрузке $R_1 = 1,5$ Ом в цепи протекает ток $I_1 = 0,5$ А, а при внешней нагрузке $R_2 = 4,5$ Ом – $I_2 = 0,25$ А.

Дано

$R_1 = 1,5 \, \text{Ом}$
$I_1 = 0,5 \, \text{А}$
$R_2 = 4,5 \, \text{Ом}$
$I_2 = 0,25 \, \text{А}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Силу тока короткого замыкания $I_{кз}$.

Решение

Запишем закон Ома для полной цепи для двух случаев, описанных в условии. Электродвижущая сила (ЭДС) источника $\mathcal{E}$ и его внутреннее сопротивление $r$ в обоих случаях одинаковы.

Закон Ома для полной цепи имеет вид: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $I$ — сила тока в цепи, $R$ — внешнее сопротивление, $r$ — внутреннее сопротивление источника.

Для первого случая:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1+r}$

Для второго случая:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2+r}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\mathcal{E}$ и $r$. Выразим ЭДС из каждого уравнения:

$\mathcal{E} = I_1(R_1+r)$

$\mathcal{E} = I_2(R_2+r)$

Так как левые части уравнений равны, приравняем и правые части, чтобы найти внутреннее сопротивление $r$:

$I_1(R_1+r) = I_2(R_2+r)$

$I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$

$I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$

$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$

$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = \frac{0,25 \cdot 4,5 - 0,5 \cdot 1,5}{0,5 - 0,25} = \frac{1,125 - 0,75}{0,25} = \frac{0,375}{0,25} = 1,5 \, \text{Ом}$

Теперь, зная внутреннее сопротивление, найдем ЭДС источника, подставив значение $r$ в любое из выражений для $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E} = I_1(R_1+r) = 0,5 \cdot (1,5 + 1,5) = 0,5 \cdot 3 = 1,5 \, \text{В}$

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ — это ток, протекающий в цепи при внешнем сопротивлении, равном нулю ($R=0$). Используя закон Ома для полной цепи, получаем формулу для тока короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим найденные значения ЭДС и внутреннего сопротивления:

$I_{кз} = \frac{1,5 \, \text{В}}{1,5 \, \text{Ом}} = 1 \, \text{А}$

Ответ: сила тока при коротком замыкании равна $1 \, \text{А}$.