Номер 350, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

350. Мотылек пролетает под фонарем со скоростью $\vec{v}$ $(v=1 \frac{\text{м}}{\text{с}})$, направленной под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту (рис. 84). Фонарь $S$ находится на высоте $H = 4$ м. Определите модуль скорости, с которой движется тень мотылька по земле в момент, когда мотылек находится точно под фонарем на высоте $h = 1,5$ м?

Рис. 84

Дано:

Скорость мотылька $v = 1$ м/с
Угол направления скорости к горизонту $\alpha = 60°$
Высота фонаря $H = 4$ м
Высота мотылька в рассматриваемый момент $h = 1,5$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль скорости тени мотылька на земле $v_{т}$.

Решение:

Введем систему координат. Начало координат $(0,0)$ расположим на земле точно под фонарем $S$. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. В этой системе координат фонарь $S$ имеет координаты $(0, H)$.

Пусть в произвольный момент времени мотылек $M$ имеет координаты $(x, y)$, а его тень $T$ на земле – $(X, 0)$. Так как фонарь, мотылек и его тень лежат на одной прямой, мы можем использовать подобие треугольников.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, образованных лучом света, проходящим через мотылька, и вертикалью, проходящей через фонарь. Большой треугольник имеет катеты $H$ и $X$. Малый треугольник, подобный ему, имеет катеты $(H-y)$ и $x$.

Из подобия треугольников следует соотношение их катетов:
$\frac{X}{x} = \frac{H}{H-y}$
Отсюда выразим координату тени $X$:
$X = x \frac{H}{H-y}$

Скорость тени $v_{т}$ – это производная ее координаты $X$ по времени $t$: $v_{т} = \frac{dX}{dt}$. Найдем производную, учитывая, что координаты мотылька $x$ и $y$ являются функциями времени. Используем правило дифференцирования частного (или произведения):
$v_{т} = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{Hx}{H-y} \right) = H \frac{\frac{dx}{dt}(H-y) - x(-\frac{dy}{dt})}{(H-y)^2} = H \frac{v_x(H-y) + x v_y}{(H-y)^2}$
Здесь $v_x = \frac{dx}{dt}$ и $v_y = \frac{dy}{dt}$ – горизонтальная и вертикальная составляющие скорости мотылька.

В момент, указанный в условии задачи, мотылек находится точно под фонарем. Это означает, что его горизонтальная координата $x = 0$, а вертикальная координата $y = h$.
Подставим эти значения в выражение для скорости тени:
$v_{т} = H \frac{v_x(H-h) + 0 \cdot v_y}{(H-h)^2} = \frac{H v_x}{H-h}$

Из этого выражения видно, что в данный момент времени скорость тени зависит только от горизонтальной составляющей скорости мотылька $v_x$. Найдем ее:
$v_x = v \cos(\alpha)$
Теперь мы можем рассчитать модуль скорости тени:
$v_{т} = \frac{H \cdot v \cos(\alpha)}{H-h}$

Подставим числовые значения из условия:
$v_{т} = \frac{4 \text{ м} \cdot 1 \text{ м/с} \cdot \cos(60°)}{4 \text{ м} - 1,5 \text{ м}} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 0,5}{2,5} \text{ м/с} = \frac{2}{2,5} \text{ м/с} = 0,8 \text{ м/с}$

Ответ: $0,8$ м/с.