Номер 349, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

349. Мальчик ростом $h = 160$ см идет с постоянной скоростью, модуль которой $v = 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, к столбу, на вершине которого висит фонарь. В некоторый момент времени длина тени, отбрасываемой мальчиком, $l_1 = 2,0$ м. Определите, через какой промежуток времени после этого длина тени от мальчика станет $l_2 = 1,5$ м, если высота столба $H = 8$ м.

Дано:

$h = 160 \text{ см}$

$v = 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$l_1 = 2,0 \text{ м}$

$l_2 = 1,5 \text{ м}$

$H = 8 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$h = 160 \text{ см} = 1,6 \text{ м}$

$v = 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3,6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Рассмотрим геометрическую схему задачи. Фонарь на столбе, мальчик и его тень образуют два подобных прямоугольных треугольника. Один треугольник образован столбом (катет $H$) и расстоянием от основания столба до конца тени (катет $x+l$). Второй треугольник образован мальчиком (катет $h$) и длиной его тени (катет $l$). Здесь $x$ – расстояние от мальчика до столба, а $l$ – длина тени.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{x+l}{l}$

Выразим расстояние $x$ от мальчика до столба через высоту столба $H$, рост мальчика $h$ и длину тени $l$:

$H \cdot l = h \cdot (x+l)$

$Hl = hx + hl$

$hx = Hl - hl$

$x = \frac{l(H-h)}{h}$

Найдем начальное расстояние мальчика от столба ($x_1$), когда длина тени была $l_1 = 2,0$ м:

$x_1 = \frac{l_1(H-h)}{h} = \frac{2,0 \cdot (8 - 1,6)}{1,6} = \frac{2,0 \cdot 6,4}{1,6} = \frac{12,8}{1,6} = 8 \text{ м}$

Найдем конечное расстояние мальчика от столба ($x_2$), когда длина тени стала $l_2 = 1,5$ м:

$x_2 = \frac{l_2(H-h)}{h} = \frac{1,5 \cdot (8 - 1,6)}{1,6} = \frac{1,5 \cdot 6,4}{1,6} = \frac{9,6}{1,6} = 6 \text{ м}$

Мальчик шел к столбу, поэтому пройденный им путь $\Delta x$ равен разности начального и конечного расстояний до столба:

$\Delta x = x_1 - x_2 = 8 \text{ м} - 6 \text{ м} = 2 \text{ м}$

Так как мальчик двигался с постоянной скоростью $v$, искомый промежуток времени $\Delta t$ можно найти по формуле:

$\Delta t = \frac{\Delta x}{v}$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \frac{2 \text{ м}}{1 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = 2 \text{ с}$

Ответ: 2 с.